Rolling and Precession - 滚动和进动

前置： Rotation - 定轴转动

滚动

纯滚动 (Smooth Rolling) = 纯平动 + 纯转动。
其中平动和转动的关系满足 v_{com}=\omega R，这可以用位移求导得出。
在每一个瞬间，也可以看作绕着点 P 的纯转动。
证明： Rolling-1

纯滚动的动能 K=K_{translation}+K_{rotation}=\frac{1}{2}mv_{com}^2 + \frac{1}{2} I_{com} \omega^2。
力矩 \tau_{net}=I_{com}\alpha。
动能定理 W_{net}=\int \vec{F_ {{net}} } d\vec{r_{com}}+\int \tau_{net}d\theta=\Delta K=\Delta K_{translation}+\Delta K_{rotation}。

质点的角动量 \vec{\mathscr{l}}=\vec{r}\times \vec{p}。
刚体的角动量在 z 轴的分量 \vec{L_{z}}=I\vec{\omega}。
容易推出 \tau=\frac{d\mathscr{\vec{l}}}{dt}。进一步的，若 \tau 为 0，则 \mathscr{l} 不变。
质心系：L_{tot}=\vec{R}\times M\vec{v}+L_{com}。

计算中常用 \gamma =\frac{I^2}{MR^2} 简化表达式。

进动

进动（Precession） 是指自转刚体受外力作用时自转轴绕某一中心旋转的现象。

过程中，进动角速度 \Omega=\frac{d\phi}{dt}=\frac{\frac{dL}{L}}{dt}=\frac{\tau}{L}= \frac{Mgr}{I\omega}。
进动角速度的方向和 \omega 的方向有关。