Rolling and Precession - 滚动和进动

前置： Rotation - 定轴转动

滚动

纯滚动 (Smooth Rolling) = 纯平动 + 纯转动。
其中平动和转动的关系满足 v_{\mathrm{com}}=\omega R，这可以用位移求导得出。
在每一个瞬间，也可以看作绕着点 P 的纯转动。
证明： Rolling-1

纯滚动的动能 K=K_{\mathrm{translation}}+K_{\mathrm{rotation}}=\frac{1}{2}mv_{\mathrm{com}}^2 + \frac{1}{2} I_{\mathrm{com}} \omega^2。
力矩 \tau_{\mathrm{net}}=I_{\mathrm{com}}\alpha。
动能定理 W_{\mathrm{net}}=\int \mathbf{F}_{\mathrm{net}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}_{\mathrm{com}}+\int \tau_{\mathrm{net}}\,\mathrm{d}\theta=\Delta K=\Delta K_{\mathrm{translation}}+\Delta K_{\mathrm{rotation}}。

质点的角动量 \boldsymbol{\mathscr{l}}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}。
刚体的角动量在 z 轴的分量 L_z=I\omega。
容易推出 \boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mathscr{l}}}{\mathrm{d}t}。进一步的，若 \boldsymbol{\tau} 为 0，则 \boldsymbol{\mathscr{l}} 不变。
质心系：\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=\mathbf{R}\times M\mathbf{v}+\mathbf{L}_{\mathrm{com}}。

计算中常用 \gamma =\frac{I_{\mathrm{com}}}{MR^2} 简化表达式。

进动

进动（Precession） 是指自转刚体受外力作用时自转轴绕某一中心旋转的现象。

过程中，进动角速度 \Omega=\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}=\frac{\frac{\mathrm{d}L}{L}}{\mathrm{d}t}=\frac{\tau}{L}= \frac{Mgr}{I\omega}。
进动角速度的方向和 \omega 的方向有关。