Equilibrium and Elasticity - 平衡和弹性

平衡

平衡（equilibrium） 状态需要运动状态不变，故而它的条件：

1. 线动量为常数：F_{net}=\frac{dp}{dt}=0。
2. 角动量为常数：\tau_{net}=\frac{d\mathscr{l}}{dt}=0（需对任意参考点都成立）。
   进一步的，静态平衡（Static Equilibrium）需要 p=0, \mathscr{l}=0。

对于合力矩为 0，理论上根据参考点的不同，可列无数个方程；但最多有多少个方程相互独立，取决于系统的自由度。

重心（center of gravity, cog） 指的是重力作用的等效点。
质心（center of mass, com） 指的是质量分布的平均位置。
当物体受到的重力加速度处处相等时，它存在重心，而且和质心重合。

弹性

上图展示了三种应力（stress）：拉伸力（tensile stress）/ 剪切力（shearing stress）/ 静水压力（液应力，hydraulic stress）

\text{应力（stress） = 模量（modulus）}\times \text{应变（strain）}

特别的，对应拉伸力，上面的式子变成：
\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L}
这里的 E 被称作杨氏模量（Young’s modulus）。
类似的，对剪切力，有剪切模量（shear modulus） - G，以及 \frac{F}{A}=G \frac{\Delta x}{L}。
对静水压力，有体变模量（bulk modulus） - B，以及 \frac{F}{A}=B \frac{\Delta V}{V}。

在应力达到 抗屈强度（yield strength） 后，发生塑性形变。在极限强度（ultimate strength），发生破裂。

扭转（twisting） 物体会产生响应的力矩来阻止这个扭转，满足公式：
\tau = -\kappa \theta
其中 \kappa 是扭转常数（torsion constant）。

对于刚体，modulus 可认为是无穷大，因为它们不能变形。