Differential Equation - 微分方程

前置：Antiderivative and Integral - 积分
常微分方程（Ordinary Differential Equation）指含 \frac{d^ny}{\mathrm{d}x^n} 的关于函数 y=f(x) 的方程。

解析解

对一阶常微分方程（First-Order ODEs），有一些特定的技巧。

分离变量后积分

A(y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=B(x)\implies \int A(y)\,\mathrm{d}y=\int B(x)\,\mathrm{d}x

构造乘积

对形如
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)
的一阶常微分方程，可以构造一个 v(x) ，使得等式两边同乘 v(x) 后，左边为乘积的微分公式：
v(x) \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y \right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(v(x)y)
那么可以解得
v(x)y=\int v(x)Q(x)\,\mathrm{d}x
这里选取的 v(x) 只需满足 v'(x)=v(x)P(x)，即
v(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}

数值解

欧拉方法（Euler’s Method）：
用已知的 y=f(x) 上的一个点，带入一阶常微分方程来估计附近的其他点： \Delta y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Delta x，其中 \Delta x 叫做估计的步长 (Step Size)。

杂类

自治微分方程 （Autonomous Differential Equation），指 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(y)。
使得这里的 f(y)=0 的根叫做平衡点（Equilibrium Points）。
若平衡点 y_{0} 满足 在 y_0 的左侧邻域内 f(y)>0、右侧邻域内 f(y)<0，则 y_{0} 被称为稳定（Stable）平衡点，因为稍微偏离 y_{0} 的 y 都会回到 y_{0} 。
若左侧 f(y)<0、右侧 f(y)>0，则有不稳定（Unstable）平衡点，稍微偏离 y_{0} 的 y 都会越跑越远。