Complex Number - 复数

复数的不同表达形式

z=a+bi=re^{i\theta}=r(\cos \theta+i\sin\theta)

单位根

方程 z^n=1
的根被称为 n 次单位根 (The n\text{th} roots of unity)。
z=1^{1/n}=(e^{2k\pi i})^{1/n}
\implies z_{k}=e^{2\pi ki/n}, k=0, 1, 2,\dots n-1
k=1 给出主单位根（Principal n\text{th} root of unity）。
单位根有许多有用的性质，例如，若 z,w 是 n 次单位根，则：

• zw 是 n 次单位根。
• \frac{1}{z} 是 n 次单位根。
• \frac{z}{w} 是 n 次单位根。
• z^k 是 n 次单位根。
  另外，所有 n 次单位根的和为 0：
  1+z+z^2+\dots+z^{n-1}=\frac{1-z^n}{1-z}=0
  所有 n 次单位根的积：
  1\times z^1 \times z^{2}\times\dots\times z^{n-1}=\begin{cases} (z^{n})^{(n-1)/2}=1, & \text{when n is odd} \\ (z^{n/2})^{n-1}=-1, & \text{when n is even} \end{cases}

代数基本定理

代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）：

• 每个次数为 n\ge 1 的复系数多项式可以完全分解为 n 个一次因子：
  p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0,\quad a_n\neq 0,\ n\ge 1
\implies p(z)=a_n\prod_{k=1}^n (z-\lambda_k),\quad \lambda_k\in\mathbb{C}.
• 若系数为实数，则根要么为实数，要么成共轭复数成对出现；并且总根数（按重数计）恰为次数 n。

这里，若系数为实数，那么共轭复数成对出现，是因为 p(z)=0\implies\overline{p(z)}= p(\bar{z})=0。

棣莫弗定理

棣莫弗定理（De Moivre’s Theorem）：

[\cos \phi +i \sin \phi]^{n}=\cos(n\phi)+i\sin(n\phi)
可以用来算出 n 倍角公式。
把上式中的 \phi 换成 -\phi，可以推出：
[\cos \phi-i\sin \phi]^{n}=\cos(n\phi)-i\sin(n\phi)