Polar Coordinates - 极坐标

参数方程（Parametrized Coordinates）

x=f(t), y=g(t)

三维坐标系中直线的向量方程：\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+t\mathbf{v}，对应的参数方程：x=x_{0}+tv_{1},y=y_{0}+tv_{2},z=z_{0}+tv_{3}。
三维坐标系中平面的方程：设法向量为 \mathbf{n}=(A,B,C)，且 P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) 在平面内，则它们确定的平面为 \mathbf{n}\cdot \vec{P_{0}P}=0，也就是 A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0。
一般来说平面的方程可以写成 Ax+Bx+Cz=D，它的一个法向量就是 (A,B,C)，它过的一个点满足 D=Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}。

【不考】
平面光滑曲线的曲率（Curvature）定义为
\kappa=| \frac{d\mathbf{T}}{ds}|
其中 T 是曲线 s 的一个单位向量。
计算公式：若 \mathbf{r}(t) 是一个光滑曲线，则：
\kappa=\frac{1}{|\mathbf{v}|} | \frac{d\mathbf{T}}{dt}|
其中 \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t), \mathbf{T}= \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} 是一个 s 的单位向量。
定义对一个光滑曲线的 主单位法向量（Principle Unit Normal Vector） ：
\mathbf{N}=\frac{1}{\kappa} \frac{d\mathbf{T}}{ds}
这里 \frac{d\mathbf{T}}{ds} 指向了 \mathbf{T} 转向的方向，因此垂直于切向量。再用 \kappa 归一化。
对于参数方程 \mathbf{r}(t)，这个量可以这样计算：
\mathbf{N}=\frac{d\mathbf{T} / dt}{\lvert d\mathbf{T} / dt \rvert }

其中 \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t), \mathbf{T}= \mathbf{v} / \lvert \mathbf{v} \rvert。
定义曲率半径（The radius of curvature）：
\rho=\frac{1}{\kappa}
对于 y=f(x) ：

• 令 \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+f(t)\mathbf{j}。
• 那么 \mathbf{v}=\mathbf{i}+f'(t)\mathbf{j}。
• 那么 \lvert \mathbf{v} \rvert=\sqrt{ 1+[f'(t)]^{2} }，且有 \mathbf{T}=\mathbf{v} / \lvert \mathbf{v} \rvert。
• 最终可以推出 \kappa=\frac{1}{\lvert \mathbf{v} \rvert} | \frac{d\mathbf{T}}{dt}|= \frac{\lvert y'' \rvert}{(1+(y')^{2})^{3/2}}

求闭合曲线面积

A=\frac{1}{2}\oint(xdy-ydx) =\frac{1}{2}\oint\left( x \frac{dy}{dt} -y \frac{dx}{dt}\right)dt

极坐标

笛卡尔坐标（Cartesian Coordinates）用笛卡尔平面的 x,y 坐标记作 (x,y)。
极坐标（Polar Coordinates）用到原点的距离 r 和极角 \theta 记作 (r,\theta)。
有如下关系：
r^2=x^2+y^2
\tan\theta=\frac{y}{x}
或，等价的
y=r\sin\theta
x=r\cos\theta

求切线斜率

\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}

求面积

A=\frac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} r^2d\theta

求弧长

L= \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{ r^{2}+\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^{2} } d\theta