Polar Coordinates - 极坐标

参数方程（Parametrized Coordinates）

x=f(t), y=g(t)

三维坐标系中直线的向量方程：\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+t\mathbf{v}，对应的参数方程：x=x_{0}+tv_{1},y=y_{0}+tv_{2},z=z_{0}+tv_{3}。
三维坐标系中平面的方程：设法向量为 \mathbf{n}=(A,B,C)，且 P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) 在平面内，则它们确定的平面为 \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0，也就是 A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0。
一般来说平面的方程可以写成 Ax+By+Cz=D，它的一个法向量就是 (A,B,C)，它过的一个点满足 D=Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}。

【不考】
平面光滑曲线的曲率（Curvature）定义为
\kappa=\lvert \frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}\rvert
其中 s 是弧长，\mathbf{T} 是曲线的单位切向量。
计算公式：若 \mathbf{r}(t) 是一个光滑曲线，则：
\kappa=\frac{1}{\lvert \mathbf{v}\rvert } \lvert \frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}t}\rvert
其中 \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t), \mathbf{T}= \frac{\mathbf{v}}{\lvert \mathbf{v}\rvert } 是曲线的单位切向量。
在 \kappa>0 的点，定义光滑曲线的 主单位法向量（Principal Unit Normal Vector）：
\mathbf{N}=\frac{1}{\kappa} \frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s}
这里 \frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}s} 指向了 \mathbf{T} 转向的方向，因此垂直于切向量。再用 \kappa 归一化。
对于参数方程 \mathbf{r}(t)，这个量可以这样计算：
\mathbf{N}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{T} / \mathrm{d}t}{\lvert \mathrm{d}\mathbf{T} / \mathrm{d}t \rvert }

其中 \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t), \mathbf{T}= \mathbf{v} / \lvert \mathbf{v} \rvert。
定义曲率半径（The radius of curvature）：
\rho=\frac{1}{\kappa}
对于 y=f(x) ：

• 令 \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+f(t)\mathbf{j}。
• 那么 \mathbf{v}=\mathbf{i}+f'(t)\mathbf{j}。
• 那么 \lvert \mathbf{v} \rvert=\sqrt{ 1+[f'(t)]^{2} }，且有 \mathbf{T}=\mathbf{v} / \lvert \mathbf{v} \rvert。
• 最终可以推出 \kappa=\frac{1}{\lvert \mathbf{v} \rvert} \lvert \frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}t}\rvert = \frac{\lvert y'' \rvert}{(1+(y')^{2})^{3/2}}

求闭合曲线面积（简单闭曲线，沿逆时针方向）

A=\frac{1}{2}\oint(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x) =\frac{1}{2}\oint\left( x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} -y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}t

极坐标

笛卡尔坐标（Cartesian Coordinates）用笛卡尔平面的 x,y 坐标记作 (x,y)。
极坐标（Polar Coordinates）用到原点的距离 r 和极角 \theta 记作 (r,\theta)。
有如下关系：
r^2=x^2+y^2
\tan\theta=\frac{y}{x}
上面的正切关系要求 x\neq0，且不能单独确定极角所在象限。完整的坐标转换关系为
y=r\sin\theta
x=r\cos\theta

求切线斜率

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}

求面积

A=\frac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} r^2\,\mathrm{d}\theta

求弧长

L= \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{ r^{2}+\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)^{2} }\,\mathrm{d}\theta