Sequence and Series - 数列与级数
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概念与定义
数列（Sequence） 收敛（Converge）到 L 记作：
\lim_{ n \to \infty } a_{n}=L
也称 L 为数列 a_{n} 的极限。严谨定义为：
\forall \varepsilon >0, \exists N(\varepsilon)>0,s.t. |a_{n}-L|<\varepsilon,\forall n>N(\varepsilon)
数列有界（Bound） 的定义为数列同时有上界（Upper Bound）和下界（Lower Bound）。
- 上界的定义：
a_{n}\leq M, \forall n \in \mathbb{N}^+，则M为上界。最小的M称为最小上界（Least Lower Bound）。
数列单调（Monotonic） 的定义为数列不降（Nondecreasing）或不升（Nonincreasing）。
为了使用求函数极限的方法求数列极限，有如下定理：若 a_{n}=f(n),\forall n\in \mathbb{N}^+ 且 \lim_{ x \to \infty }f(x)=L，那么有 \lim_{ n \to \infty }a_{n}=\lim_{ x \to \infty }f(x)=L 。
常见数列极限：
\lim_{ n \to \infty } \frac {{\ln n}} {n}=0。\lim_{ n \to \infty} n^{1/n}=1。\lim_{ n \to \infty }x^{1/n}=1。\lim_{ n \to \infty }x^{n}=0(|x|<1)。\lim_{ n \to \infty }\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n=e^x。\lim_{ n \to \infty } \frac{x^n}{n!}=0。
无穷级数（Infinite Series） 的定义为：给定数列 \{a_{n}\}，那么 a_{1}+a_{2}+ \dots +a_{n}+ \dots =\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} 称为无穷级数。
部分和（Partial sum） 的定义为：给定数列 \{a_{n}\}，那么定义 s_{n}=\sum^{n}_{k=1}a_{k} 为部分和数列（Sequence of partial sums）\{s_{n}\}。
级数收敛的定义：若部分和收敛（s_{n}\to L），则称级数 \sum^{\infty}_{n=1}a_{n} 收敛。
余项（Remainder）：
R_{n}:=S-s_{n}
其中 S=\sum a_{n}, a_{k}=f(k)>0 且 f 连续且递减。
级数绝对收敛（Absolutely convergent）： \sum |a_{n}|\text{收敛}。这是强于 \sum a_{n} 收敛的。
级数条件收敛（Conditionally convergent）： 级数收敛但不绝对收敛。
幂级数（Power Series）：\sum^{\infty}_{n=0}c_{n}(x-a)^n 为以 x=a 为中心的幂级数。
定理
数列极限
数列极限的性质与函数极限类似：四则运算与求极限可以交换位置。
同样也适用夹逼定理（The Sandwich Theorem）：若 \lim_{ n \to \infty }a_{n}=\lim_{ n \to \infty }c_{n}=L, c_{n}\leq b_{n}\leq a_{n}，则有 \lim_{ n \to \infty }b_{n}=L。
数列连续函数定理（The Continuous Function Theorem for Sequences）：若 \lim_{ n \to \infty }a_{n}=L 且 f(x) 在 L 处连续，那么有 \lim_{ n \to \infty }f(a_{n})=f(L)。也就是说，复合一个连续函数和求极限可以交换位置。
- 推论：若数列
\{a_{n}\}存在极限L且有递推式a_{n+1}=f(a_{n})，则\lim_{ n \to \infty }a_{n+1}=\lim_{ n \to \infty }f(a_{n})\implies L=f(L)，也就是用不动点法求数列极限。
判断敛散性
常见结果：
- 单调有界定理（The Monotonic Sequence Theorem）：单调且有界的数列一定收敛。
- 对公比为
r的等比级数（Geometric Series）a+ar+ar^{2}+\dots+ar^{n-1}+\dots：- 若
|r|<1，则级数收敛到\frac{a}{1-r}。 - 否则，级数发散。
- 若
- 若级数
\sum^{\infty}_{n=1} a_{n}收敛，则a_{n}\to 0。反过来不一定成立（反例：a_{n}=\frac{1}{n}）。 - 发散判别法（The Test for Divergence）：若
\lim_{ n \to \infty }a_{n}不存在或不为0，则级数\sum^{\infty}_{n=1} a_{n}发散。
线性性质：
- 若级数
\sum a_{n}和\sum b_{n}都收敛，则它们的线性运算可以和求和符号交换位置：
\sum(a_{n}+kb_{n})=\sum a_{n}+k\sum b_{n} - 若级数
\sum a_{n}发散，则\sum ka_{n}也发散。 - 若级数
\sum a_{n}发散，级数\sum b_{n}收敛，则级数\sum (a_{n}+b_{n})发散。
单调有界定理的推论（Corollary）：若 a_{n}\geq 0，则级数 \sum a_{n} 收敛当且仅当 s_{n} 有上界。
积分判别法（The Integral Test）： 若 a_{n}=f(n)>0，且 f 在 x\geq N 时连续且递减，则有：
\sum a_{n} \text{ 收敛} \Longleftrightarrow \int _{N}^{\infty}f(x)dx \text{ 收敛}
推论： p-\text{series} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} 当 p>1 时收敛，当 p\leq 1 时发散。这个和反常积分判断敛散性是一样的。
推论：\sum\frac{1}{n\ln n} 是发散的。
在积分判别法中，余项的上下界：
\int^{\infty}_{n+1} f(x)dx\leq R_{n}\leq \int^{\infty}_{n} f(x)dx
比较判别法（The Comparison Test）：若级数 \sum a_{n}, \sum b_{n}, \sum c_{n} 都的各项都非负，且有：
\exists N, s.t. a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n} \forall n>N
则：
- 若
\sum a_{n}发散，则\sum b_{n}发散。 - 若
\sum c_{n}收敛，则\sum b_{n}收敛。
极限比较判别法（Limit Comparison test）：若 a_{n}>0 且 b_{n}>0 对所有 n\geq N：
- 若
\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=c>0，则\sum a_{n}和\sum b_{n}同敛散。 - 若
\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=0，则\sum b_{n} \text{收敛}\implies \sum a_{n}\text{收敛}。 - 若
\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty，则\sum b_{n}\text{发散}\implies \sum a_{n}\text{发散}。
绝对收敛判别法（The Absolute Convergent Test）： 若 \sum|a_{n}| 收敛，则 \sum a_{n} 收敛。
比值判别法（The Ratio Test）： 若对 \sum a_{n}，有 \lim_{ n \to \infty } \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho：
- 若
\rho >1，则\sum a_{n}发散。 - 若
\rho <1，则\sum a_{n}绝对收敛。
（\rho=1情形不定）
根值判别法（The Root Test）： 若对 \sum a_{n}，有 \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{ |a_{n}| }=\rho：
- 若
\rho >1，则\sum a_{n}发散。 - 若
\rho<1，则\sum a_{n}绝对收敛。
（\rho=1情形不定）
交错级数判别法（The Alternating Series Test）： \sum (-1)^{n+1}u_{n} 收敛当：
u_{n}>0。u_{n}\geq u_{n+1}。\lim_{ n \to \infty }u_{n}=0
交错级数估计定理（The Alternating Series Estimation Theorem）： 若 \sum a_{n}=\sum (-1)^{n+1}u_{n}=L，则：
|s_{n}-L| < u_{n+1}。\text{sgn}(L-s_{n})=\text{sgn}(a_{n+1})=(-1)^{n}。
绝对收敛数列重排定理（The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series）： 若 \sum a_{n} 绝对收敛，且 b_{n} 是 a_{n} 的任意重排，则 \sum a_{n}=\sum b_{n}。
若
\sum a_{n}条件收敛，则它重排之后极限与原来不一定相同。
幂级数
幂级数收敛定理（The Convergence Theorem for Power Series）： 对级数 \sum c_{n}x^n：
- 若它在
x=c处收敛，则它在|x|<|c|绝对收敛。 - 若它在
x=d处发散，则它在|x|>|d|发散。推论：对幂级数
\sum c_{n}x^n，它必属于以下三种：\exists R>0, s.t. \sum a_{n}在|x-a|<R绝对收敛，在|x-a|> R发散。R=0。R=\infty。
其中R称为幂级数的收敛半径（Radius of Convergence），收敛的区间称为收敛区间（Interval of Convergence）。
幂级数乘法定理（The Series Multiplication Theorem for Power Series）: 若 \sum a_{n}x^{n} 和 \sum b_{n}x^n 都对 |x|<R 绝对收敛，则
\left( \sum a_{n}x^{n} \right)\left( \sum b_{n}x^{n} \right)=\sum c_{n}x^{n}
其中
c_{n}=\sum^{n}_{k=0}a_{k}b_{n-k}
定理： 若 \sum a_{n}x^{n} 对 |x|<R 绝对收敛，则 \sum a_{n} (f(x))^n 对 |f(x)|<R 绝对收敛。
逐项微分定理（The Term-by-term Differentiation Theorem）： 若 f(x)=\sum c_{n}(x-a)^n 对 |x-a|<R 收敛，则有
f'(x)=\sum n c_{n}(x-a)^{n-1}
逐项积分定理（The Term-by-term Differentiation Theorem）： 若 f(x)=\sum c_{n}(x-a)^n 对 |x-a|<R 收敛，则有
\int f(x)\,dx= \sum c_{n} \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C
求幂级数
利用核心公式：
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}
这两个式子是求导的关系。
例：
- 求
\sum \frac{1}{(n+1)2^n}。- 令
f(x)= \sum \frac{1}{n+1} x^n。故xf(x)=\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}，于是(xf(x))'=\sum x^n=\frac{1}{1-x}-1，积分回去就有xf(x)=-\ln(1-x)-x。代入x=\frac{1}{2}得\sum \frac{1}{(n+1)2^n}=f\left( \frac{1}{2}\right)=2\ln(2)-1。 - 也可以直接配凑出
-\ln(1-x)的展开。
- 令
- 求
\sum \frac{n}{2^n}。 - 令
f(x)=\sum nx^n。故\frac{f(x)}{x}= \sum nx^{n-1}，于是\int \frac{f(x)}{x}dx=\sum x^n= \frac{1}{1-x}-1。于是有\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{(1-x)^{2}}。代入x=\frac{1}{2}得\sum \frac{n}{2^n}=2。