Limit and Derivative - 极限与导数

已完成 · 笔记范围：全



概念与定义

函数连续（Continuous）的定义： \lim_{ x \to c }f(x)=f(c)

导数（Derivative）的定义：\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

关键点（Critical Points）：导数为 0 或导数未定义的点。

函数增（Increase）和减（Decrease）：f'(x)>0 或 f'(x)<0。

Concave Up 和 Concave Down：f''(x)>0 或 f''(x)<0。

拐点（Inflection Point）：左右两边 f''(x) 符号不同（注意不要求 f''(x) 存在）。

一对一函数（One-to-one Function）：f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}（一个充分条件是 f 严格单调）

反函数（Inverse Function）：对一对一函数（One-to-one Function）来说，存在反函数 y=f^{-1}(x)，使得 f(y)=x。

小 o 记号（little-oh Notation）：f=o(g)（“f is little-oh of g”），当 f 的阶比 g 的阶更小，即 \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0

大 O 记号（big-oh Notation）： f=O(g)（“f is big-oh of g”），当的阶小于或等于 g 的阶，即 \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\le M

定理

  • 夹逼定理（The Sandwich Theorem）：
    • 适用条件：存在 a\in\mathbb{R}，在 a 的某去心邻域内有
      f(x)\le g(x)\le h(x),
      且
      \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L.
    • 结论：
      \lim_{x\to a} g(x)=L.
  • 介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）：
    • 适用条件：f 在闭区间 [a,b] 上连续。
    • 结论：对任意 y 介于 f(a) 与 f(b) 之间，存在 c\in[a,b]（当 y 严格介于两者间时可取 c\in(a,b)）使得 f(c)=y。
  • 极值定理（Extreme Value Theorem, EVT）：
    • 适用条件：f 在闭区间 [a,b] 上连续。
    • 结论：存在 x_{\min},x_{\max}\in[a,b]，使得
      f(x_{\min})=\min_{x\in[a,b]} f(x),\quad f(x_{\max})=\max_{x\in[a,b]} f(x).
  • 罗尔定理（Rolle’s Theorem）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)。
    • 结论：存在 c\in(a,b) 使 f'(c)=0。
    • 常用来证明等式。
  • 拉格朗日中值定理（The Mean Value Theorem, Lagrange MVT）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导。
    • 结论：存在 c\in(a,b) 使
      f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
    • 常用来证明不等式。
  • 柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem, CMVT）：
    • 适用条件：f,g 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，且 g(b)\ne g(a)。
    • 结论：存在 c\in(a,b) 使
      [f(b)-f(a)]\,g'(c)=[g(b)-g(a)]\,f'(c).
      若另知 g'(c)\ne 0（例如 g'(x)\ne 0 于 (a,b)），则
      \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.
  • 费马引理（Fermat’s Lemma）：
    • 适用条件：f 在某开区间 I 上定义，c\in I 为内点；f 在 c 处可导；c 是 f 的局部极值点（极大或极小）。
    • 结论：f'(c)=0。
  • 洛必达法则（L’Hôpital’s rule）：
    • 适用条件：设 f,g 在点 a 的某去心邻域内可导，且
      \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 \quad\text{或}\quad \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty,\ \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,
      并且 g'(x)\ne 0（在该邻域内），极限
      \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
      存在（有限或为 \pm\infty）。
    • 结论：
      \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

经典反例

  1. f(x)=\begin{cases}x^2\sin \left( \frac{1}{x} \right) & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases}
    f(x) 连续且处处可导，但 f'(x) 在 0 处不连续，因为 \lim_{ x \to 0 }f'(x) 不存在。
    这个函数在 0 附近震荡非常强烈，例如可构造 g(x)=2f(x)+x 让 f'(x) 在 0 附近符号频繁变化。
    另外，它在 0 处没有二阶导，(0,0) 也不是它的拐点。
  2. f(x)=\begin{cases}1 & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases}
    和第 1 条类似但稍弱一些，说明 f'(0) 和 \lim_{ x \to 0 }f'(x) 不是一回事。

杂类

“函数在 x 处连续” 是 “函数在 x 处可导” 的必要不充分条件。

牛顿迭代法（Newton’s Method）：x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

渐近线（Asymptotes）：

  • 垂直（Vertical）渐近线：\lim_{ x \to a^{\pm} }f(x)=\pm \infty \to x=a
  • 水平（Horizontal）渐近线：y=\lim_{ x \to \pm \infty }f(x)
  • 斜（Oblique）渐近线：
    • y=ax+b ，其中 a = \lim_{ x \to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}, b = \lim_{ x \to \pm \infty } (f(x)-ax)。
    • 对多项式的商，如果分子比分母的最高次数多 1，可能产生斜渐近线。

线性化（Linearization）：切线。

画函数图像：注意单调性和极值 / 凸性和拐点 / 渐近线。

三角函数和反三角函数导数公式表： Derivative-1

对向量值函数（Vector-Valued Functions） 求导：只需对向量的各组成部分分别求导。

泰勒公式

若函数 f 在包含 a 的开区间 I 上存在各阶导数，则对任意正整数 n 及任意 x\in I，有泰勒展开

f(x)=\left(\sum^{n}_{i=0}\frac{f^{(i)}(a)(x-a)^i}{i!}\right)+R_n(x)

余项 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}，其中 c 位于 a 与 x 之间。
余项估计定理（Remainder Estimation Theorem）： 若存在正常数 M 使得
|f^{(n)}(x)|\leq M
对每个 n\geq 0 成立，则该级数收敛到 f(x)。

若此时 R_{n}\to 0 当 n\to \infty 对 x \in I 恒成立，则 f 在 x=a 处的泰勒展开收敛到 f，记作
f(x)=\sum^{\infty}_{i=0} \frac{f^{(i)}(a)(x-a)}{i!}
麦克劳林级数（Maclaurin series）是在 0 处的泰勒公式。
一些常见函数的麦克劳林展开：
\sin x=x- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots (x\to 0)
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!} + \cdots(x\to 0)
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots(x\to 0)
这三个容易直观理解。
\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\cdots(x\to 0)
这个需要死记硬背。
\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots(x\to 0)
注意，上面这些公式在其定义域内都收敛。
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots(x\to 0)
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots(x \to 0)
\ln(1+x)=x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} + \cdots (x \to 0)
这几个都可以互推。
注意，前两个公式收敛需要 |x|<1，最后一个公式收敛需要 -1<x\leq 1。
特别的，
\ln(\cos x)=\ln\left( 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \right)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
用广义二项式定理求幂级数：
\begin{align} (1+x)^{\alpha}&=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^k \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}x^k \end{align}