Antiderivative and Integral - 积分

已完成 · 笔记范围：全

前置： Limit and Derivative - 极限与导数

概念与定义

定积分的定义：对黎曼和 \sum^{n}_{i=1}f\left( a+ \frac{b-a}{n} i \right) \times \frac{b-a}{n} 取极限。
Lower / Upper Sum：取区间的最小值/最大值为代表做黎曼和。
Average Value \text{av}(f) = \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a}f(x)dx 。
Centroid： 几何中心，即质量均匀的物体的质心
Improper Integral（反常积分）：

  1. Type 1： \int_{b}^{\infty}ydx=\lim_{ a \to \infty } \int _b^a ydx
  2. Type 2：定义在 \left [ b,a \right) 上的函数 y(x) ， \int_{b}^a ydx= \lim_{ c \to a^- } \int_{b}^c ydx

定理

  • 积分中值定理（First Mean Value Theorem for Integrals）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续。
    • 结论：存在 c\in(a,b) 使
      \int_a^b f(x)\,dx \;=\; f(c)\,(b-a).
  • 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上可积；定义 F(x)=\int_a^x f(t)\,dt。
    • 结论：
      • F 在 [a,b] 上连续；
      • 若 f 在 c\in(a,b) 处连续，则 F'(c)=f(c)。特别地，若 f 在 [a,b] 上连续，则 F 在 (a,b) 上可导且 F'(x)=f(x)。
  • 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续；F 为 f 的一个原函数（F'=f 于 [a,b]）。
    • 结论：
      \int_a^b f(x)\,dx \;=\; F(b)-F(a).
  • 莱布尼兹法则（Leibniz’s Rule）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续；u(x),v(x) 可导且取值落在 [a,b]。
    • 结论：
      \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\!\big(v(x)\big)\,v'(x) \;-\; f\!\big(u(x)\big)\,u'(x).

判断反常积分敛散性

  1. 对于可积函数，积出来之后根据反常积分的定义，判断极限是否存在即可。
  2. 若其恒小于一个收敛的反常积分，则该积分也收敛。
  3. 若其恒大于一个发散的反常积分，则该积分也发散。
  4. 若在端点处 f 和 g 同阶，即其比值的极限存在，则 f 和 g 同敛散。
    具体而言，比如要判断 0 处端点是否可积，则可以用泰勒近似找一个同阶的幂函数，然后用下面的特例来判断即可；比如要判断无穷远处是否可积，则可以用抓大头的想法找一个同阶的幂函数，然后用下面的特例来判断即可。
  5. 特例：
    \int_{0}^t \frac{1}{x^p}dx 收敛当且仅当 p<1；\int_{t}^{\infty} \frac{1}{x^p}dx 收敛当且仅当 p>1。

积分应用

求体积

  • Washer Method: 对截面进行积分 V=\int \text{截面面积}(x)dx
  • Shell Method: 旋转体可看成圆柱面的累加：\int 2\pi \times\text{半径}(x)\times高度(x)dx
    • 其中半径是 x 到旋转轴的距离，高度为 x 处的被旋转面的截线长
  • Pappus’s Theorem for Volumes: V=2\pi \rho A，即旋转面面积乘质心走的距离

求弧长
\text{arc length} = \int^{b}_{a} \sqrt{ 1+ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 }dx
\text{arc length} = \int^{b}_{a} \sqrt{ 1+ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 }dy
求旋转体的表面积
A=\int^{b}_{a}2\pi f(x)\sqrt{ 1+[f'(x)]^2 } dx

  • Pappus’s Theorem for Surface Areas：A=2\pi \rho L，即弧长乘质心走的距离

求平面图形质心
\bar{x}= \frac{\int \tilde{x}dm}{\int dm},\bar{y}= \frac{\int \tilde{y}dm}{\int dm}

  • 若密度分布不均匀，有密度分布函数 \delta，则 dm=\delta dA。
  • 若求两个函数包着的区域质心，即 y=f(x)-g(x)，则可以将 \tilde{y} 写成 \frac{1}{2}(f(x)+g(x))：
    \bar{x}= \frac{1}{M} \int \delta x (f(x)-g(x))dx
    \begin{align} \bar{y}&= \frac{1}{M} \int \frac{f(x)+g(x)}{2} \delta (f(x)-g(x))dx\\ &= \frac{1}{M} \int \frac{\delta}{2}[f^2(x)-g^2(x)]dx \end{align}

求几何中心（即 \delta 是常数的情况）
\bar{x}= \frac{\int \tilde{x}dA}{A}, y=\frac{\int \tilde{y}dA}{A}

求定积分的数值估计
The Trapezoidal Rule： 用梯形近似面积。

T= \frac{\Delta x}{2}(y_{0}+2y_{1}+2y_{2}+\dots +2y_{n-1}+y_{n})
误差：|E_{T}| \leq \frac{M(b-a)^3}{12n^2}
其中 M 是 f'' 的上界。

Simpson’s Rule： 用抛物线近似面积。

S=\frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+\dots+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})
其中 n 为偶数。
误差：
|E_{S}| \leq \frac{M(b-a)^5}{180n^4}
其中 M 是 f^{(4)} 的上界。