Antiderivative and Integral - 积分

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前置： Limit and Derivative - 极限与导数

概念与定义

定积分的定义：对黎曼和 \sum^{n}_{i=1}f\left( a+ \frac{b-a}{n} i \right) \times \frac{b-a}{n} 取极限。
Lower / Upper Sum：取区间的最小值/最大值为代表做黎曼和。
Average Value \text{av}(f) = \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a}f(x)\,\mathrm{d}x 。
Centroid： 几何中心，即质量均匀的物体的质心
Improper Integral（反常积分）：

  1. Type 1： \int_{b}^{\infty}y\,\mathrm{d}x=\lim_{ a \to \infty } \int _b^a y\,\mathrm{d}x
  2. Type 2：定义在 \left [ b,a \right) 上的函数 y(x) ， \int_{b}^a y\,\mathrm{d}x= \lim_{ c \to a^- } \int_{b}^c y\,\mathrm{d}x

定理

  • 积分中值定理（First Mean Value Theorem for Integrals）：若 f 在 [a,b] 上连续，则存在 c\in(a,b)，使
    \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(c)(b-a).
  • 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1）：若 f 在 [a,b] 上连续，F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t，则
    F'(x)=f(x),\quad a<x<b.
  • 微积分基本定理（Part 2）：若 f 连续且 F'=f，则
    \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).
  • 莱布尼兹法则（Leibniz’s Rule）：
    • 适用条件：f 在 [a,b] 上连续；u(x),v(x) 可导且取值落在 [a,b]。
    • 结论：
      \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,\mathrm{d}t = f\!\big(v(x)\big)\,v'(x) \;-\; f\!\big(u(x)\big)\,u'(x).

判断反常积分敛散性

  1. 对于可积函数，积出来之后根据反常积分的定义，判断极限是否存在即可。
  2. 对非负被积函数，若被积函数不大于一个反常积分收敛的非负函数，则该积分也收敛。
  3. 对非负被积函数，若被积函数不小于一个反常积分发散的非负函数，则该积分也发散。
  4. 若在端点处 f 和 g 同阶，即其比值趋于有限的正数（非负函数），则 f 和 g 同敛散。
    具体而言，比如要判断 0 处端点是否可积，则可以用泰勒近似找一个同阶的幂函数，然后用下面的特例来判断即可；比如要判断无穷远处是否可积，则可以用抓大头的想法找一个同阶的幂函数，然后用下面的特例来判断即可。
  5. 特例：
    \int_{0}^t \frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x 收敛当且仅当 p<1；\int_{t}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x 收敛当且仅当 p>1。

积分应用

求体积

  • Washer Method: 对截面进行积分 V=\int \text{截面面积}(x)\,\mathrm{d}x
  • Shell Method: 旋转体可看成圆柱面的累加：\int 2\pi \times\text{半径}(x)\times高度(x)\,\mathrm{d}x
    • 其中半径是 x 到旋转轴的距离，高度为 x 处的被旋转面的截线长
  • Pappus’s Theorem for Volumes: V=2\pi \rho A，即平面区域面积乘质心走的距离（旋转轴在该平面内且不穿过区域内部）

求弧长
\text{arc length} = \int^{b}_{a} \sqrt{ 1+ \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2 }\,\mathrm{d}x
\text{arc length} = \int^{b}_{a} \sqrt{ 1+ \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^2 }\,\mathrm{d}y
求旋转体的表面积
A=\int^{b}_{a}2\pi \lvert f(x)\rvert \sqrt{ 1+[f'(x)]^2 }\,\mathrm{d}x

  • Pappus’s Theorem for Surface Areas：A=2\pi \rho L，即弧长乘质心走的距离（旋转轴在曲线平面内且不穿过曲线）

求平面图形质心
\bar{x}= \frac{\int \tilde{x}\,\mathrm{d}m}{\int\,\mathrm{d}m},\bar{y}= \frac{\int \tilde{y}\,\mathrm{d}m}{\int\,\mathrm{d}m}

  • 若密度分布不均匀，有密度分布函数 \delta，则 \mathrm{d}m=\delta\,\mathrm{d}A。
  • 若密度仅依赖 x（均匀密度也适用），求两个函数包着的区域质心，其竖直截条高度为 y=f(x)-g(x)，则可以将 \tilde{y} 写成 \frac{1}{2}(f(x)+g(x))：
    \bar{x}= \frac{1}{M} \int \delta x (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x
    \begin{aligned} \bar{y}&= \frac{1}{M} \int \frac{f(x)+g(x)}{2} \delta (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\\ &= \frac{1}{M} \int \frac{\delta}{2}[f^2(x)-g^2(x)]\,\mathrm{d}x \end{aligned}

求几何中心（即 \delta 是常数的情况）
\bar{x}= \frac{\int \tilde{x}\,\mathrm{d}A}{A}, \bar y=\frac{\int \tilde{y}\,\mathrm{d}A}{A}

求定积分的数值估计
The Trapezoidal Rule： 用梯形近似面积。

T= \frac{\Delta x}{2}(y_{0}+2y_{1}+2y_{2}+\dots +2y_{n-1}+y_{n})
误差：\lvert E_{T}\rvert \leq \frac{M(b-a)^3}{12n^2}
其中 M 是 \lvert f''\rvert 的上界。

Simpson’s Rule： 用抛物线近似面积。

S=\frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+\dots+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})
其中 n 为偶数。
误差：
\lvert E_{S}\rvert \leq \frac{M(b-a)^5}{180n^4}
其中 M 是 \lvert f^{(4)}\rvert 的上界。