Integral Techniques - 积分技巧

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前置： Antiderivative and Integral - 积分

杂类

定积分

  • 注意是否区间关于 0 对称而且被积函数是奇函数。
  • 区间再现： \int^{\pi/2}_{0}f(\sin x)\,\mathrm{d}x=\int^{\pi/2}_{0}f(\cos x)\,\mathrm{d}x
  • 更一般的，\int^{a}_{0}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \int^{a}_{0} \left[f(x)+f(a-x)\right]\,\mathrm{d}x
  • 类似的，\int^{a}_{\frac{1}{a}} f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \int^{a}_{\frac{1}{a}} \left[f(x)+\frac{1}{x^2}f\left( \frac{1}{x} \right)\right]\,\mathrm{d}x

不定积分

  • \frac{1}{a^2+x^2}, \frac{1}{\sqrt{1-ax^2}}, \frac{1}{\lvert ax\rvert \sqrt{a^2x^2-1}}\dots 考虑反三角函数
  • 三角函数积分公式表：Integral-1
  • Wallis 公式：
    \int^{\pi/2}_{0}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int^{\pi/2}_{0}\cos^nx\,\mathrm{d}x=\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2}\dots \frac{2}{3}\cdot 1 & (\text{n为奇数})\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & (\text{n为偶数}) \end{cases}
  • 对分子为多项式，分母为二次式的平方根的形式，有如下的恒等式：\int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ ax^2+bx+c }}\,\mathrm{d}x=Q_{n-1}(x)\sqrt{ ax^2+bx+c } + \int \frac{K}{\sqrt{ ax^2+bx+c } }\,\mathrm{d}x 其中 P_{n} 为一个 n 次多项式，Q_{n-1} 为一个 n-1 次多项式，可以通过待定系数法确定。这个恒等式可以通过求导证明。
  • 对于这个形式，使用倒数代换 u=\frac{1}{ax+b} 往往能消掉一次项：
    \int \frac{1}{(ax+b)\sqrt{ cx^2+\mathrm{d}x+e }}\,\mathrm{d}x
  • 以下公式最好直接背，因为三角换元容易造成难以处理的绝对值：
    \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ x^2\pm a^2}} = \ln\lvert x+\sqrt{ x^2\pm a^2 }\rvert +C

换元（Substitution）

第一类（凑微分）

\int g(f(x))\times f'(x)\,\mathrm{d}x \xlongequal{u=f(x)} \int g(u)\,\mathrm{d}u
关于三角函数的经验凑微分技巧：

  1. 若将 \sin x 换成 -\sin x 后，原式变为其相反数，则凑 \sin x\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\cos x。
  2. 若将 \cos x 换成 -\cos x 后，原式变为其相反数，则凑 \cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}\sin x。
  3. 若将 \sin x 和 \cos x 换成 -\sin x 和 -\cos x 后，原式不变，则凑 \sec^2 x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan x。
  4. 也可考虑万能公式。

第二类（去根号）

\int f(x)\,\mathrm{d}x \xlongequal{x=g(t)} \int f(g(t)) g'(t)\,\mathrm{d}t

  1. 积分式中有 \sqrt{ ax+b } 时，换元 x=\frac{t^2-b}{a}，则 \mathrm{d}x=\frac{2t}{a}\,\mathrm{d}t。
  2. \sqrt{ a^2-x^2 } 考虑三角换元 x=a\sin\theta。
  3. \sqrt{ a^2+x^2 } 考虑三角换元 x=a\tan\theta。
  4. \sqrt{ x^2-a^2 } 考虑三角换元 x=a\sec \theta。
  5. 上面这些三角换元不必死记硬背公式，画一个含 \theta, a, x 的直角三角形即可直观看出关系。

分部积分（Integration by Parts）

\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u
或
\int uv'\,\mathrm{d}x =uv-\int vu'\,\mathrm{d}x
用在函数可分解成两个乘积，其中一个容易求导，另一个容易求原函数时尝试。
经验顺序：反对幂三指，排在后面的选为 v'。

特别的，
\int f(x)\,\mathrm{d}x=xf(x)-\int x\,\mathrm{d}f(x)
也就是说如果一个函数的反函数容易积分，则分部积分法可用。
表格法：
Integral-1

部分分式（Integration Using Partial Fractions）

当 F(x) 的次数小于 G(x) 时，可以将这个有理分式拆开：

\frac{F(x)}{G(x)=\prod_{i} (x-x_{i})^{a_{i}}}=\sum_{i} \sum _{1\leq k\leq a_{i}} \frac{t_{ik}}{(x-x_{i})^k}
注意如果分母包含不可约的二次因式如 x^2+x+1，那么对它拆的时候分子待定系数为 Ax+B，而不是简单的常数。
任何实系数多项式都可以分解成若干一次因式和二次因式的乘积，例如
\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{(x^2+1-\sqrt{ 2 }x)(x^2+1+\sqrt{ 2 }x)}
然后可以用部分分式来积分。