Transverse Wave - 横波

Oscillations - 振动
横波（Transverse Wave） 指质点振动方向与波传播方向相反的波。

向右传播的波可以写成 y(x,t)=f(x - vt) 的形式。

谐波

谐波（Harmonic/Sinusoidal Waves） 指 f(x) 是正弦函数的情况：

y(x,t)=y_{m}\sin(k(x\pm vt))

将 x 增加一个波长 \lambda，波的形状不变，可以推出 k=\frac{2\pi}{\lambda}，k 叫做角波数 （Angular Wave Number），单位 \text{rad/m}。
将 t 增加一个周期 T，波的形状不变，可以推出 kv=\frac{2\pi}{T}=\omega。
故谐波的标准形式：
y(x,t)=y_{m}\sin(kx\pm\omega t)

绷紧弦上的波

绷紧弦（Stretched String）上的波速
v=\sqrt{ \frac{\tau}{\mu} }
其中 \tau 是弦上的张力（Tension），\mu=\frac{M}{L} 是弦的线密度（Linear Density）
证明： Wave-1
波能量传递的平均功率：
P_{\text{avg}} = \frac{1}{2}\mu v\omega^2y_{m}^2
证明：Wave-2

谐波的叠加

两列谐波的叠加（Superposition）只需简单相加：
y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)
稳定的叠加叫做干涉（Interference）。

差某个相位的情况

若两列波振幅，波长和频率相同，只差一个相位 \phi，那么它们的叠加：
\begin{align} y(x,t)&=y_{m}\sin(kx-\omega t)+y_{m}\sin(kx-\omega t+\phi) \\ &=2y_{m}\cos\left( \frac{\phi}{2} \right)\sin\left( kx-\omega t+\frac{\phi}{2} \right) \end{align}

1. 若 \cos\left( \frac{\phi}{2} \right)=0，则两列波反相（Out of phase），称为相消干涉（Destructive Interference）。
2. 若 \cos\left( \frac{\phi}{2} \right)=\pm 1，则两列波同相（In phase），称为相长干涉（Constructive Interference）。

传播方向相反的情况

若两列波振幅，波长和频率相同，但传播方向相反，那么它们的叠加：
\begin{align} y(x,t)&=y_{m} \sin (kx-\omega t) + y_{m} \sin(kx+\omega t) \\ &=2y_{m} \sin kx \cos\omega t\end{align}
是一个驻波（Standing Wave）。

1. 若 \sin kx=0，即 x=n \frac{\lambda}{2}，这些点永远不动，叫做节点（Nodes）。
2. 若 \sin kx=\pm 1，即 x=\left( n+\frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2}，这些点振幅最大，叫做负点（Antinodes）。

波的反射

如果一个波撞到“硬边界”（Hard boundary），会发生半波损，波会跳跃半个相位后反射回来。
如果一个波撞到“软边界”（Soft boundary），会直接反射回来。

如果一个波和其反射的波叠加形成了驻波，则这种现象称为共振（Resonance）。

可以证明，产生共振的必要条件是硬边界都在节点，软边界都在负点。

两边都是硬边界的情况，需要 L=n \frac{\lambda}{2} 形成共振：

1. 一边是硬边界一边是软边界的情况，需要 L=\frac{\lambda}{4} + \frac{\lambda}{2} n，即 \lambda=\frac{4L}{m}(m=1,3,5\dots) 的情况：
   
2. 两边都是软边界的情况，需要 L=n \frac{\lambda}{2}：
   

注意，所谓 \text{nth harmonic} ，可以理解成谐波的频率 f_{n}=nf_{1}，其中 f_{1} 为 \text{Foundamental Frequency}；所谓 \text{nth lowest harmonic}，对一边硬边界一边软边界的情况，则取第 n 个可以形成谐波的频率。