Longitudinal Wave - 纵波

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纵波（Longitudinal Wave） 指质点振动方向与波传播方向相同的波。

声波（Sound Waves） 是一种常见的纵波。
声波的波速：
$v=\sqrt{ \frac{B}{\rho} }$
其中 B 是介质的体变模量（Bulk Modulus），\rho 为介质的密度。
$B=- \frac{\Delta p}{\Delta V/V}$
由于气体最容易被压缩（B 很小），液体次之，固体最难，故而声速：固体>液体>气体。
可以证明（Wave-3），声波的方程：
$s(x,t)=s_{m}\cos(kx-\omega t)$
进而：
$\Delta p(x,t)=-B \frac{\partial s}{\partial x}=Bks_{m}\sin(kx-\omega t)$
$\implies p_{m}=Bks_{m}=v\rho\omega s_{m}$
能量传递的平均功率：
$P_{avg}=\frac{1}{2}ABk\omega s_{m}^2$
定义声音的强度（Intensity） 为单位面积的功率：
$I=\frac{P_{avg}}{A}=\frac{1}{2}\rho v\omega^2s_{m}^2$

在三维空间中，波面为球形：
$I(r)=\frac{P_{s}}{4\pi r^2}$

进而定义声级（Sound Level，单位为分贝 dB）：
$\beta=(10\text{dB})\log \frac{I}{I_{0}}$
其中 I_{0}=10^{-12}\text{W/m}^2，约为人能听到的最小声强。

声波的干涉

路程差导致的相位差

$\begin{align} s(P,t)&=s_{1}(x,t)+s_{2}(x,t) \\ &=s_{m}\cos(kx_{1}-\omega t)+s_{m}\cos(kx_{2}-\omega t) \\ &=2s_{m}\cos\left( \frac{k\Delta L}{2} \right)\cos(\omega t-\bar{\phi}) \end{align}$
其中 \Delta L=|x_{2}-x_{1}|, \bar{\phi}=\frac{k(x_{1}+x_{2})}{2} 。
由于 \frac{k\Delta L}{2}=\frac{\pi \Delta L}{\lambda}，有：

若 \Delta L 为半波长的偶数倍，则为相长干涉。
若 \Delta L 为半波长的奇数倍，则为相消干涉。

节拍

两列波 s_{1}=s_{m}\cos \omega_{1}t, s_{2}=s_{m} \cos \omega_{2}t，那么它们的叠加 s = 2s_{m} \cos (\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}t) \cos (\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}t)
叠加会形成这样的波形：
Wave-7
\omega_{\text{beat}}=|\omega_{1}-\omega_{2}|, f_{\text{beat}}=|f_{1}-f_{2}|

驻波

同横波，注意考虑 Open End 和 Closed End。

多普勒效应

波源（Source）的速度为 v_{S} ，检测者（Detector）速度为 v_{D} ，声音的速度为 v，则检测者感受到的声音频率为
$f'=f \frac{v\pm v_{D}}{v\pm v_{S}}$
两者接近，f'>f，两者远离，f'<f。
注意这个公式需要介质没有速度。如果介质有速度，应把介质选为参考系。

超音速（Supersonic）：v_{S}>v 的情形，会引发激波（Shock Wave）.
马赫数（Mach Number）：\frac{v_{S}}{v}。
Wave-8
$\sin \theta= \frac{v}{v_{S}}$