Oscillations - 振动

前置：Rotation - 定轴转动

振动（Oscillation）指的是在两个位置或状态之间的来回运动。
振动一个循环所需要的时间为周期（Period）： T。
频率 （Frequency）f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} 。

简谐运动

振动位置是时间的正弦函数的运动，称为简谐运动（Simple Harmonic Function, SHM）。
x(t)=x_{m}\cos(\omega t+\phi)
其中 x_{m} 是振幅（Amplitude），\omega t+\phi 是相位（Phase），\phi 是相位角（Phase Angle）， \omega 是角频率（Angular Frequency），而且有：
\omega =\frac{2\pi}{T}=2\pi f
通过求导可以得到：
v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=-\omega x_{m} \sin(\omega t+\phi)
a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=-\omega^2 x_{m}\cos(\omega t+\phi)
不难看出 a=-w^2x，故而 F=ma=-m\omega^2x，这里的力就叫回复力（Restoring Force）。
反过来通过 F=-kx 可以求得 \omega=\sqrt{ \frac{k}{m} }, T=2\pi \sqrt{ \frac{m}{k} }。

能量角度，势能 U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kx_{m}^2\cos^2(\omega t+\phi)，动能 K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_{m}^2\sin^2(\omega t+\phi)，它们之和即为机械能，故系统机械能守恒：
E=\frac{1}{2}kx_{m}^2=\frac{1}{2}mv_{m}^2

角简谐振动

角简谐运动（Angular SHM）是扭摆（Torsion pendulum）的原理。
\tau = -\kappa \theta= I \frac{d^2\theta}{dt^2}
\implies \theta(t)= \theta_{m} \cos(\omega t + \phi)
其中 \omega = \sqrt{ \frac{\kappa}{I} }。
对单摆来说， \tau=\vec{h} \times m\vec{g} = -hmg\sin\theta\sim -hmg\theta，故 \kappa=hmg，I=I_{com}+mh^2。
\implies \omega=\sqrt{ \frac{mgh}{I_{com}+mh^2} }\sim \sqrt{ \frac{g}{h} }
这里的 h 是转轴到质心的距离。
能量角度，势能 U=mgh(1-\cos\theta)\sim \frac{1}{2}mgh\theta^2，动能 K=\frac{1}{2} I \Omega^2，它们之和即为机械能，系统机械能守恒：
E=\frac{1}{2}I\Omega_{m}^2 = \frac{1}{2} mgh\theta_{m}^2

阻尼简谐振动

阻尼简谐振动（Damped SHM）是受到一个正比于 v 的阻力的简谐振动：
F_{net}=-bv-kx=ma
\implies m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} +kx = 0
\implies x(t)=x_{m} e^{bt/2m} \cos(\omega' t + \phi)
其中 \omega' = \sqrt{ \frac{k}{m} -\frac{b^2}{4m^2}}, E(t)\simeq \frac{1}{2}kx_{m}^2 e^{-\frac{bt}{m}}

共振

受迫振动（Forced Oscillation）的频率始终和周期性的驱动力（Driving Force）的频率相同。
当受迫振动的频率达到本真频率 （Natural Angular Frequency）时，振动的振幅最大，这种现象叫做共振 （Resonance）。

等效劲度系数

弹簧的串联：
\frac{1}{k_{eff}}=\sum_{i} \frac{1}{k_{i}}
弹簧的并联：
k_{eff}=\sum_{i} k_{i}