Electrostatics - 静电学

库仑定律（Coulomb’s Law）

元电荷 e=1.60 \times 10^{-19}\,\text{C}，宏观的电荷 q=ne，其中 n 为整数。

电子的移动能使物体带电，且通过感应可以充电（Charging by induction）。

材料可以分为导体（Conductors），绝缘体（Insulators），半导体（Semiconductors）。

库仑定律：
F=k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}
其中电荷的单位为库伦（Coulomb, 1\text{C}=1\text{A}\cdot\text{S}）。
并有 k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}(=8.99\times 10^9\, \text{N}\times\text{m}^2\text{/C}^2)，其中 \varepsilon_{0} 为真空介电常数。
矢量形式：
\vec{F}\text{(on 2)}=k \frac{q_{1}q_{2}}{|\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}|^3} (\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})

电场 （Electric Field）

场（Field）是一种具有能量，质量和动量的客观存在的物质。
用场线（Field Lines）可以描述场的方向，也可用线的疏密，定性描述场的强度。
电荷之间的相互作用并非超距作用，而是电场的作用。
定义电场强度：
\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_{0}}
其中 q_{0} 为一个正的试探电荷，\vec{F} 为它受到的电场力的作用。

求解一般带电物体产生的电场，可以定义电荷的线密度 \lambda /面密度 \sigma /体密度 \rho，将 dQ 写成与坐标有关的形式，然后写出各方向上电场的分量，就会变成一个积分问题。
复杂积分考试时通常会给公式。

常见公式：
E= \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left( 1- \frac{z}{\sqrt{ z^{2}+R^{2} }} \right)\text{(charged disk)}
E=\frac{qz}{4\pi \varepsilon_{0}(x^{2}+R^{2})^{3/2}}\text{(charged ring)}

电场也满足球壳定理。

孤立导体的性质：

• 导体的内部电场为 0。
• 导体的电荷都分布在表面。
• 导体四周的电场与导体表面垂直。

电偶极子（Electric Dipole）

电偶极子指一对大小相等，方向相反，距离为 d 的电荷体系。
定义电偶极矩（Electric Dipole Moment）|\vec{p}|=qd，方向由负电荷指向正电荷。
当距离电偶极子很远的时候：
E=\frac{1}{2\pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{z^{3}}\text{(electric dipole)}

则可以推出：

• 当 y\gg d 时， E(y)= \frac{\vec{p}}{2\pi \varepsilon_{0}y^3}。
• 当 x\gg d 时，E(x)=- \frac{\vec{p}}{4\pi \varepsilon_{0}x^3}。
  并且有 \vec{\tau}=\vec{p}\times \vec{E}，U=-W=-\int \tau d\theta=-\vec{p}\cdot \vec{E}。
  微波炉的原理就是水分子作为电偶极子会在电场中旋转产生动能。

电通量（Electric Flux）

对于一个面，可以定义它的面积矢量（Surface Area），矢量的大小为面积的大小，方向为法线的方向之一。我们规定：

• 若面是有向的线围成的，则使用右手定则确定矢量方向。
• 若面围成了一块体积，则矢量的方向由体的内部指向外部。

从而可以定义电通量
\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A}=|\vec{E}||\vec{A}|\cos \theta
对于一个闭合曲面（高斯曲面，Gaussian Surface），里面放一个正电荷，则总电通量必然为正；放一个负电荷，则总电通量必然为负。
\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}
对于一个球：
\Phi=\oint \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}dA=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}
进一步推广，得到 高斯定律（Gauss’s Law）：对于高斯曲面，它内部所包的电荷为 q_{\text{enc}}。则
\Phi= \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}
或
\varepsilon_{0} \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{\text{enc}}

例如无穷大均匀带电面的电场，满足 q_{\text{enc}}=\sigma A=\varepsilon_{0} \oint EdA=\varepsilon_{0} E (2A)\implies E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}。
从而平行板电容器的电场 E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}。
导体表面的电场也为 E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} 。
高斯定律主要适用于对称/近似无穷大的情况。

对称：球对称，柱对称，平移对称，面对称。对不同的面选不一样的高斯曲面，一般是一个球或者圆柱。

注意导体内部的电场恒为 0，也就是说，任取一个导体内的高斯曲面，它所包的电荷量都为 0。

电势（Electric Potential）

电势能 \Delta U=-W=-q_{0}\int_{i}^f \vec{E}\cdot d\vec{s}。
定义电势 V=\frac{U}{q_{0}}，故有 \Delta V=-\int_{i}^f \vec{E}\cdot d\vec{s}。电势的单位为伏特（Volt）。
定义无穷远处的电势为 0，且大地的电势为 0，则：
V=-\int_{\infty}^f \vec{E} \cdot d\vec{s}
从这个式子可以得到：
\vec{E_{s}}=-\frac{\partial V}{\partial s}
也就是说，电场方向与电势降低的方向相同。在三维空间中：
\vec{E}=-\left( \frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)V =- \vec{\nabla} V
点电荷的电势：
V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} } \frac{q}{r}
那么求电势的两种方法：

• 若电场不好求，用叠加原理： V=\int dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r}
• 若电场好求，用定义：V=-\int_{\infty}^f \vec{E} \cdot d\vec{s}
  电势相等的点组成等势面（Equipotential surface），等势面与电场线垂直。
  由于金属内部电场为 0，金属都是等势体。

假设某导体由一个小球（Q_{1},R_{1}）和一个大球（Q_{2},R_{2}）组成，则有
\begin{cases} \frac{kQ_{1}}{R_{1}}=\frac{kQ_{2}}{R_{2}} (\text{电势相等}) \\ 4\pi R_{1}^2 E_{1}=\frac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}}(\text{对小球列高斯定理}) \\ 4\pi R_{2}^{2}E_{2}=\frac{Q_{2}}{\varepsilon_{0}}(\text{对大球列高斯定理}) \end{cases}
则可以推出 E_{1}R_{1}=E_{2}R_{2}，且 \sigma_{1}R_{1}=\sigma_{2}R_{2}。可以理解为，导体中，表面曲率半径小的地方，所带的电荷更多，电场也更大。

电偶极子的电势

\begin{align} V&=V_{(+)}+V_{(-)}=k\left( \frac{q}{r_{(+)}}-\frac{q}{r_{(-)}} \right) \\ &=kq \frac{r_{(-)}-r_{(+)}}{r_{(+)}r_{{(-)}}}\\ &\xlongequal{r\gg d} kq \frac{d\cos\theta}{r^{2}}\\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{p\cos\theta}{r^{2}} \end{align}

电容器（Capacitor）

电容（Capacitance）C 的单位为法拉（Farad, F）。定义式：
C=\frac{q}{V}
可以推导出平行板电容器的电容 C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}，圆柱形电容器的电容 C=2\pi\varepsilon_{0} \frac{L}{\ln(b / a)}，球形电容器的电容 C=4\pi\varepsilon_{0} \frac{ab}{b-a}。当球形电容器 b\to \infty，相当于一个孤立的球体，那么 C=4\pi\varepsilon_{0} a。
电容器的串联：

\begin{align} &V_{\text{1}}+V_{\text{2}}=V\\ &Q_{1}= Q_{2}=Q \\ \implies & \frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}=\frac{1}{C} \end{align}
多个电容的串联：\frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_{i}}。
并联：
\begin{align} &V_{1}=V_{2}=V \\ &Q_{1}+Q_{2}=Q \\ \implies &C_{1}+C_{2}=C \end{align}
多个电容的并联：C=\sum C_{i}。
电容器储存的电势能：
\begin{align} &W=\int vdq=\frac{1}{C}\int qdq=\frac{Q^{2}}{2C}\\ \implies& U=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}CV^{2}=\frac{1}{2}QV \end{align}
能量密度
u=\frac{U}{Ad}=\frac{\frac{1}{2}CV^{2}}{Ad}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}

若存在电介质（dielectric）：
E= \frac{\sigma-\sigma_{i}}{\varepsilon_{0}}=\frac{E_{0}}{\frac{\sigma}{\sigma-\sigma_{i}}}=\frac{E_{0}}{\kappa}
其中 \kappa=\frac{\sigma}{\sigma-\sigma _{i}}>1 为介电常数（dielectric constant）。
将原来公式中的 \varepsilon_{0} 替换为 \kappa\varepsilon_{0} 即为有电介质的情况。
例如，有电介质的情况下的高斯定理：
\varepsilon_{0} \oint \kappa \vec{E}\cdot d\vec{A}=q(\text{free charge})
有电介质的电容：C=\kappa \frac{Q}{V}。
注意是 V 不变还是 Q 不变。

• 若 V 不变，C=\kappa C_{0}，Q=CV 变大。
• 若 Q 不变，C=\kappa C_{0}，V=\frac{Q}{C} 变小。