DC Circuits - 直流电路

电流

电流为电荷因电场作用在导体中定向移动产生的，定义为单位时间内通过一个截面的正电荷量。
i=\frac{dq}{dt}
电流为一个标量。
微观表示
i=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{NALe}{\frac{L}{v_{d}}}=nAev_{d}
定义电流密度
\vec{J}=\frac{i}{A}\hat{v_{d}}=ne \vec{v_{d}}
那么有
di=\vec{J}d\vec{A}

电阻

定义电阻率（Resistivity）为电场强度与电流密度的比值，它只与材料有关：
\rho=\frac{E}{J}
导电率（Conductivity）为：
\sigma=\frac{1}{\rho}=\frac{J}{E}
定义电阻（金属材料）（Resistance）为：
R=\frac{V}{I}\text{(Ohm's Law)}
若电阻率处处相等，截面面积不变，则可以推出电阻和电阻率的关系：
V=IR=EL=\rho JL=\frac{\rho IL}{A}
\implies R=\frac{\rho L}{A}
一般情况下 R=\int \frac{\rho(x)}{A(x)}dx。

电阻率与温度之间的关系：
\rho (T)=\rho_{0}(1+\alpha (T-T_{0}))
或
\alpha= \frac{1}{\rho_{0}} \frac{\Delta \rho}{\Delta T}
\alpha>0：温度越高，电阻率越高；\alpha <0：温度越高，电阻率越低。
超导材料：在 T<T_{0} 下，电阻率变成了 0。
可以用测电阻来测温度。
金属中有
\rho=\frac{E}{J}=\frac{\frac{ma}{e}}{nev_{d}}= \frac{m}{e^{2}n\tau}
其中 \tau 为两次碰撞之间的时间，与电场大小无关。
电阻的串联：
R=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}
并联：
R=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\dots+\frac{1}{R_{n}}

电功率

U=qV\implies dU=Vdq=VIdt
\implies P=\frac{dU}{dt}=IV
在纯电阻的情况下, 应用欧姆定律有：
P=I^{2}R=\frac{V}{R}

电路

电动势（Electromotive Force, emf）\varepsilon 为将电流从低电势转换为高电势的影响。一个理想的 emf 可以保持恒定的电势差。
真实的电池会存在内阻 r，那么对于整个回路有
\varepsilon=I(R+r)

基尔霍夫定律（Kirchhoff’s Rules）：

• 基尔霍夫节点定则（Kirchhoff’s Junction Rule）：对于电路中任意的节点，有 \sum I=0。
• 基尔霍夫回路定则（Kirchhoff’s Loop Rule）：对于电路中任意的回路，从某一个点经过一圈回到原点，有 \sum V=0。（例如，沿着电流方向经过电阻，电势减小；从电池的负极穿到正极，电势上升）。
  电流的方向可以随便假设，最后看算出来数值的正负来确定实际方向。

RC 电路

（电容器充电）存在一个电动势 \varepsilon，一个电阻 R 和一个电容器 C 的回路中，由基尔霍夫回路定则得：
\varepsilon-iR-\frac{q}{C}=0
这等价于关于 q 的一阶微分方程：
\frac{dq}{dt}=-\frac{q-C\varepsilon}{RC}
解得
q=C\varepsilon(1-e^{-t/RC})
以及
i=\frac{dq}{dt}=\frac{\varepsilon}{R} e^{-t/RC}
V=\frac{q}{C}=\varepsilon(1-e^{-t/RC})
这里 RC=\tau 为时间常数(Time Constant)，单位为秒。
（电容器放电）在上面的情况下去掉电动势：
-iR-\frac{q}{C}=0
解得
q=Q_{0}e^{-t/RC}
i=-\frac{Q}{RC}e^{-t/RC}=I_{0}e^{-t/RC}