Synthesis of Electromagnetism - 电磁学综合

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LC 振荡电路 （LC Oscillator）

Electromagnetism - 电磁学综合
能量守恒：
\frac{Q^{2}}{2C}+ \frac{1}{2}Li^{2}=U
这是一个关于 q 的二阶微分方程（假定电流流进正极板，才有 i=\frac{dQ}{dt}），类似与弹簧振子。那么有
q=Q\cos(\omega t+\phi)
这里 \omega= \frac{1}{\sqrt{ LC }}。

有电阻的情况，就相当于阻尼振荡（Damped Oscillator）：
Electromagnetism - 电磁学综合-1

有交流电源和电阻的情况，就相当于受迫振荡。
Electromagnetism - 电磁学综合-2
有如下关系，其中 \omega 是电源频率：
\varepsilon=\varepsilon_{m}\sin \omega t
i=I_{m}\sin(\omega t-\phi)
\implies V_{R}=iR=I_{m}R\sin(\omega t-\phi)
V_{L}=L \frac{di}{dt}=L\omega I_{m}\sin\left( \omega t-\phi+\frac{\pi}{2} \right)
V_{C} = \frac{\int idt}{C}= \frac{1}{\omega C} I_{m} \sin\left( \omega t-\phi-\frac{\pi}{2} \right)
直观理解：电感是对抗电流的变化的，所以电压提前于电流；电容器是先有电流充电才有电压的，所以电压落后于电流。
这里称 X_{L}=\omega L 为感抗（Inductive Reactance），X_{C}=\frac{1}{\omega C} 为容抗（Capacitive Reactance）。上方是相图（Phasor Diagram），因此电感的电势差相位领先电流 \frac{\pi}{2}，电容的落后电流 \frac{\pi}{2}。
Electromagnetism - 电磁学综合-3
图中可以看到， \varepsilon 领先电流相位 \phi。
这里定义阻抗 (Impedance)
Z= \sqrt{ R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2} }
这里也有
\tan \phi= \frac{V_{L}-V_{C}}{V_{R}}= \frac{X_{L}-X_{C}}{R}(\text{相位常数, Phase Constant})
因此，当 X_{L}=X_{C} 时， \phi=0，达到共振（Resonance），I_{m}（振幅）达到最大：
\omega_{d}=\omega= \frac{1}{\sqrt{ LC }}
在 X_{L}<X_{C} 时，\phi<0，I_{m} 随 \omega_{d} 增加而增加（称为容性/mainly capacitive，此时电压落后于电流）；在 X_{L}>X_{C} 时， \phi>0，I_{m} 随 \omega_{d} 增加而减小（称为感性/mainly inductive，此时电压提前于电流）。
直观理解：\omega_{d} 从 0 增加到 \infty 时，感抗在从 0 增加到 \infty，容抗在从 \infty 减小到 0。总阻抗取决于它们差值的大小，当他们相等的时候阻抗最小，电流幅值最大。左边，容抗大，为电容性；右边，感抗大，为电感性。

另外，定义 功率因数（Power Factor） 为 \cos \phi=\frac{R}{Z}，即有功功率和总功率的比值。

交流电路（AC）中的功率

I_{\text{rms}}=\frac{I}{\sqrt{ 2 }}, V_{\text{rms}}= \frac{V}{\sqrt{ 2 }}, \varepsilon_{\text{rms}} = \frac{\varepsilon _{m}}{\sqrt{ 2 }}
P_{\text{avg}}=I^{2}_{\text{rms}}R
在包含 \varepsilon,C,L,R 的电路中：

P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}^{2}R= \frac{\varepsilon_{\text{rms}}}{Z}I_{\text{rms}}R=\varepsilon_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos \phi

变压器（Transformer）

Electromagnetism - 电磁学综合-4
电压关系：
\frac{V_{2}}{V_{1}}= \frac{N_{2}}{N_{1}}
能量守恒，有
V_{1}I_{1}=V_{2}I_{2}
因此在电源端的等效电阻为
\frac{V_{1}}{I_{1}}= \frac{R}{\left( \frac{N_{2}}{N_{1}} \right)^{2}}

位移电流

位移电流（Displacement Current）为空间中的电场变化的等效电流，它会产生磁场：
i_{D}=\varepsilon_{0} \frac{d\Phi_{E}}{dt}=\varepsilon_{0} \frac{d}{dt}\int \vec{E}\cdot d\vec{A}
电容器充放电中，就会产生位移电流。
根据麦克斯韦理论，为了保持闭合电路中“电流”的连续性，流入电容器极板的传导电流等于极板间的位移电流。
麦克斯韦修正后的安培定律：
\int \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}(i+i_{D})

麦克斯韦方程组

电磁波是横波 (EM waves \rightarrow Transverse waves)。

电磁波的存在是基于麦克斯韦方程组推导出来的。一般形式的麦克斯韦方程组积分形式如下：

\begin{cases} \oint \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} & \text{(高斯定律)} \\ \oint \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0 & \text{(高斯磁定律)} \\ \oint \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} & \text{(法拉第感应定律)} \\ \oint \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 \left( \int \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} + \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} \right) & \text{(安培-麦克斯韦定律)} \end{cases}

自由空间条件产生自洽波动：
在远离辐射源的自由空间中，没有自由电荷 (q = 0)，也没有传导电流 (\mathbf{J} = 0)。将这两个条件代入上述方程，原本需要电荷和电流激发的项消失了，方程变得高度对称。这表明：交变的电场可以自发产生磁场，交变的磁场也可以自发产生电场。 它们交替激发，形成在空间中传播的电磁波。

在自由空间中，沿 x 轴正方向传播的最简单的电磁波形式是平面简谐波：
\begin{cases} E = E_m \sin(kx - \omega t) \\ B = B_m \sin(kx - \omega t) \end{cases}

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电磁波具有以下六个重要特征：

  1. 步调一致 (E \text{ and } B are in phase)：电场 \mathbf{E} 和磁场 \mathbf{B} 是同相的。
  2. 相互垂直 (E \text{ and } B are perpendicular)：电场分量和磁场分量不仅彼此相互垂直，而且它们都垂直于波的传播方向。因此电磁波是横波。
  3. 定向传播 (\hat{E} \times \hat{B} = \hat{c})。
  4. 振幅比例固定 (E_m = cB_m)：在真空中，电场的峰值大小 E_m 与磁场的峰值大小 B_m 之间保持一个固定的比例关系，这个比例常数就是真空中光速 c。
  5. 波速由真空常数决定 (c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0})：电磁波在真空中的传播速度（光速 c）仅仅取决于真空磁导率 \mu_0 和真空电容率 \varepsilon_0。这一推导证明了光本质上也是一种电磁波。
  6. 能量均分 (u_E = u_B)：电磁波在传播过程中携带着能量。在任何时刻、真空中的任何一点，电场贡献的能量密度 u_E 和磁场贡献的能量密度 u_B 是绝对相等的。

为了描述电磁波在某一时刻、某一点传输能量的方向和速率，物理学引入了坡印廷矢量（Poynting vector） \vec{S}。其定义式（矢量形式）为：
\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}

  • 方向： \vec{S} 的方向由 \vec{E} \times \vec{B} 决定，这意味着能量是沿着波的传播方向流动的。
  • 大小推导： 因为 \vec{E} 和 \vec{B} 相互垂直，所以叉乘的大小直接等于乘积 EB。再利用真空中电场和磁场的幅值关系 E = cB，可以推导出 \vec{S} 大小的多种等效表达形式。光学中常用只含 E 的形式。
    S = \frac{1}{\mu_0} EB = \frac{1}{c\mu_0} E^2 = \frac{c}{\mu_0} B^2
  • 物理意义： 量纲为 功率/面积 (W/m^2)。它表示单位时间内，垂直穿过单位面积的电磁能量。

由于电磁波的电场 E 和磁场 B 是极高频周期性变化的，坡印廷矢量 \vec{S} 也在快速振荡。考察一段时间内能量传输的平均效果，这个时间平均值就被称为电磁波的强度 (Intensity)，用字母 I 表示：
I = \langle S \rangle = \frac{1}{c\mu_0} \langle E^2 \rangle = \frac{1}{2c\mu_0} E_m^2 = \frac{1}{c\mu_0} E_{\text{rms}}^2

  • \langle S \rangle 表示对瞬时值 S 取时间平均。对于正弦波，周期内平方的平均值 \langle E^2 \rangle = \frac{1}{2} E_m^2 （其中 E_m 是电场的峰值/最大幅值）。E_{\text{rms}} 代表电场的有效值 (均方根值, Root Mean Square)，E_{\text{rms}} = E_m / \sqrt{2}。因此 \frac{1}{2} E_m^2 等于 E_{\text{rms}}^2。

强度的本质是：
\left( \frac{\text{power}}{\text{area}} \right)_{avg}
即：平均辐射功率除以受照面积。

如果产生电磁波的是一个向四面八方均匀辐射的点辐射源 (Point source)，能量会在空间中以球面波的形式向外扩散。根据能量守恒定律，辐射源发出的总平均功率（average power）在距离源为 r 时，会均匀分布在半径为 r 的整个球面上：

I = \frac{\text{average power}}{4\pi r^2} \propto \frac{1}{r^2}
因此来自点源的电磁波强度与距离的平方成反比（I \propto 1/r^2）。

光子动量与辐射压（Radiation Pressure）

除了波动性，光（电磁波）也具有粒子性。光子（Photons）静止质量为零，但携带着能量和动量。

光子所携带的动量 P 与其能量 U 之间的关系为：

P = \frac{U}{c}
(注：c 为真空中光速)

当一束强度为 I 的电磁波在 \Delta t 时间内照射到面积为 A 的物体表面时，传递的总能量为 U = I A \Delta t。根据表面性质的不同，物体获得的动量变化量 \Delta P 有两种极端情况：

  • 完全吸收 (Totally absorbed)：
    物体吸收所有入射光子。
    \Delta P = \frac{U}{c} = \frac{IA\Delta t}{c}
  • 完全反射 (Totally reflected)：
    入射光子被原路弹回，动量改变量翻倍。
    \Delta P = \frac{2U}{c} = \frac{2IA\Delta t}{c}

因为光传递了动量，所以电磁波会对物体施加力。

1. 辐射力 (Force, F)
根据牛顿第二定律 (F = \frac{\Delta P}{\Delta t})，电磁波施加的力为：

  • 完全吸收：F = \frac{IA}{c}
  • 完全反射：F = \frac{2IA}{c}

2. 辐射压 (Pressure, p)
压强定义为单位面积上的力 (p = \frac{F}{A})，即：

  • 完全吸收：p = \frac{I}{c}
  • 完全反射：p = \frac{2I}{c}
    通过单位（量纲）理解辐射压本质的直观对应关系：
    \frac{I}{c} = \frac{S_{avg}}{c} = \frac{\text{energy}/(m^2 \cdot sec)}{c}
    由于 \text{energy} / c = \text{momentum} (能量/光速 = 动量)，上式可理解为：
    单位时间、单位面积上所传递的动量。由动量定理可知，这正是压强 (pressure) 的物理定义。

偏振（Polarization）

  • 偏振面定义： 电磁波中电场 \vec{E} 振动所在的平面。
  • 线偏振光： 电场 \vec{E} 只在单一固定方向上振动的光。
  • 非偏振光 (自然光)： 电场 \vec{E} 在各个方向振动概率相等的随机光。可等效为两个相互垂直、强度相等的线偏振光叠加。

Synthesis of Electromagnetism - 电磁学综合-1

1. 起偏：非偏振光 \rightarrow 线偏振光

  • 原理： 当强度为 I_0 的非偏振光穿过偏振片时，只有平行于偏振轴的电场分量通过。
  • 强度变化： 透射光变为线偏振光，强度减半：
    I_1 = \frac{1}{2} I_0
    2. 检偏：马吕斯定律 (Malus’s Law)
  • 原理： 当振幅为 E、强度为 I_1 的线偏振光穿过偏振片时，设振动面与偏振片透光轴夹角为 \phi。透射光的电场变为 E_{\parallel} = E \cos\phi。
  • 光强公式： 由于光强 I \propto E^2，透射光强度 I_2 满足马吕斯定律：
    I_2 = I_1 \cos^2\phi
    (注：当夹角 \phi = 0^\circ 时透射极强；当 \phi = 90^\circ 时透射为零，即消光)