Optics - 光学

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几何光学（Geometrical Optics）

光在介质中的传播

  • 折射率： n = \frac{c}{v} (光在介质中变慢，n \ge 1)
  • 波长变化： 进入介质后频率 f 不变，波长变短：\lambda = \frac{\lambda_{air}}{n}

反射与折射基本定律

  • 反射定律： 入射角 = 反射角 (\theta_i = \theta_r)
  • 斯涅尔定律 (折射定律)：
    n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2
    (注：角度均为光线与法线的夹角)
  • 费马原理： 光传播的路径是“耗时最短”的路径。

全反射 (Total Internal Reflection)

  • 条件： 光由光密射向光疏介质 (n_1 > n_2)。
  • 临界角(Critical Angle)： 当折射角为 90^\circ 时的入射角。
    \theta_c = \sin^{-1}(\frac{n_2}{n_1})

反射偏振与布儒斯特角 (Brewster’s angle)

  • 现象： 非偏振光在界面反射时，反射光通常为部分偏振。
  • 布儒斯特角 \theta_B： 特定的入射角，使得反射光变为完全的线偏振光 (纯 S 偏振，垂直于入射面)。
  • 几何特征： 此时反射光线与折射光线相互垂直，即 \theta_B + \theta_r = 90^\circ。
  • 布儒斯特公式：
    \theta_B = \tan^{-1}(\frac{n_b}{n_a})
    (其中 n_a 为入射介质，n_b 为折射介质)

干涉 (Inference)

  1. 相干波条件： 相同频率 (\omega)、相同振动方向、恒定相位差。
  2. 光程 (Optical Path)：
    \text{光程} = n \cdot L
    (折射率 \times 几何路程，等效于光在真空中传播的距离)
  3. 相位差 (\Delta\phi) 与光程差 (\delta) 的转换关系：
    \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot (n_1 L_1 - n_2 L_2) = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \delta
    (注：\lambda 始终代指光在真空中的波长)

推导：将电磁波写成 E_{p}=E_{1}+E_{2} （矢量），E=\cos(kL-\omega t+\phi)：Optics - 光学
这里 \Delta \phi=k_{1}L_{1}-k_{2}L_{2}=\frac{2\pi}{\lambda_{1}}L_{1}-\frac{2\pi}{\lambda_{2}}L_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{1}L_{1}-n_{2}L_{2})，其中 \lambda 为真空中的波长。
那么从上面的图可以得到 E_{p}=2E_{0}\cos \frac{\Delta \phi}{2}，进而 I_{P}=4I_{0}\cos ^{2} \frac{\Delta \phi}{2}

判定某点是亮条纹还是暗条纹，直接计算两束光到达该点的光程差 (n_1 L_1 - n_2 L_2)：

  • 相长干涉 (Constructive, 亮纹)：
    n_1 L_1 - n_2 L_2 = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, ...)
    相位差对应为：\Delta\phi = m \times 2\pi

  • 相消干涉 (Destructive, 暗纹)：
    n_1 L_1 - n_2 L_2 = (m + \frac{1}{2})\lambda \quad (m = 0, 1, 2, ...)
    相位差对应为：\Delta\phi = (m + \frac{1}{2}) \times 2\pi

如果杨氏双缝等实验整个装置都在空气（近似认为 n_1 = n_2 = 1）中进行，
则光程差就等于几何路程差：
\delta = L_1 - L_2 = \Delta L
此时发生干涉的条件直接由几何路径差决定。

光程和光程差

  • 物理本质： 介质折射率大 \rightarrow 光速变慢 \rightarrow 波长变短 \rightarrow 在相同厚度 L 内包含的“波长个数”变多。
  • 波数公式： 距离 L 内包含的波的个数 N = \frac{L \cdot n}{\lambda_{vac}} （分子 L \cdot n 即为光程）。
  • 相位差 \Delta\phi 的计算：取决于两束光包含的波数之差。
    • 公式：\frac{\Delta\phi}{2\pi} = \Delta N = \frac{L(n_2 - n_1)}{\lambda_{vac}}
    • 实用技巧： 干涉结果只取决于波数差的小数部分（例如相差 3.6 个波，只看 0.6）。

杨氏双缝干涉实验 (Young’s Double-Slit)

  • 目的： 获得两束相干光，观察光的干涉现象。
  • 实现相干的方法： 分波前法。用一个单缝 S_0 照射两个距离很近的狭缝 S_1, S_2，使得 S_1, S_2 成为频率相同、初相位相同的两个相干次波源。
  • 屏幕干涉图样： 形成平行的明暗相间条纹。
    • 亮条纹 (Constructive)： 波前同相到达，相互加强。条件是光程差 \delta = m\lambda。
    • 暗条纹 (Destructive)： 波前反相到达，相互抵消。条件是光程差 \delta = (m + \frac{1}{2})\lambda。
  • 关键尺寸量级考点： 缝宽及波长通常在微米 (\mu\text{m}) 级，缝间距数十到上百微米，而屏幕距离通常在米 (\text{m}) 级。（满足远场近似条件）。
    Optics - 光学-1

路径差公式的几何推导 (关键前提: D \gg d)
当屏幕很远时，两束光线近似平行。
由缝距 d 与出射角 \theta 构成的直角三角形得出几何路径差：
\Delta L = d \sin\theta

  • 第 m 级明纹 (Bright):
    d \sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
    *(求角度: \theta = \arcsin(\frac{m\lambda}{d})) *
  • 第 m 级暗纹 (Dark):
    d \sin\theta = (m + \frac{1}{2})\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
    (注意：m=1 是第二暗纹，因为它从 m=0 的第一暗纹开始算)

小角度近似：\sin\theta =\tan\theta=\frac{y}{D}

Optics - 光学-2
Optics - 光学-3
利用相量法 (两个同幅矢量夹角为 \phi) 推导合成光强。

  • 合电场振幅： E = 2E_0 \cos(\frac{\phi}{2})
  • 总光强公式：
    I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)
    (其中 I_0 是单缝的光强，最大光强为 4I_0)
  • 从屏幕几何角度 \theta 计算相位差 \phi：
    \phi = \frac{2\pi}{\lambda} (d \sin\theta)

薄膜干涉

半波损失 (Phase Shift on Reflection)
判定反射光是否发生相位突变，只看一点：光是否在“更密”的介质表面“碰壁”反弹。

  • n_{入射} < n_{反射面} (光疏射向光密)： 反射光有半波损失（相位突变 \pi，等效光程 \pm \frac{\lambda}{2}）。
  • n_{入射} > n_{反射面} (光密射向光疏)： 反射光无半波损失（相位不变）。

垂直入射时的总光程差公式
垂直入射（或小角度入射）时，薄膜内部折返的几何距离近似为厚度的两倍：2L。
\text{总光程差} \Delta L = 2L n_{薄膜} \pm \Delta_{附加}
(需分别判断上下表面是否发生半波损失来确定 \Delta_{附加} 是否为 \frac{\lambda}{2})

Optics - 光学-4

特定条件下的薄膜极值公式
适用条件： n_1 > n_2 < n_3 或 n_1 < n_2 > n_3 (即有且仅有一侧发生半波损失)。
因为有一侧的波反相了，所以导致干涉条件的明暗公式和常规情况颠倒：

  1. 相长干涉 (Constructive / 亮纹) :
    2L \cdot n_2 = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \Rightarrow 2L = \left(m + \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{n_2} \quad (m=0,1,2...)
  2. 相消干涉 (Destructive / 暗纹) :
    2L \cdot n_2 = m\lambda \Rightarrow 2L = m\frac{\lambda}{n_2} \quad (m=0,1,2...)
    超薄膜极限 (L \ll \lambda)
    • 条件： 厚度 L 极小，路径光程差 2L n_2 \rightarrow 0。
    • 现象： 如果符合上文“单侧半波损失”的条件，总光程差仅剩 \frac{\lambda}{2}。此时两波必定反相叠加。
    • 结论： 极薄膜在此条件下必定发生相消干涉（看起来是暗/黑的）。

注意：上述的干涉为反射光的，若考虑透射光，那么由于能量守恒定律，反射光最弱相当于透射光最强，所以结论是相反的。

衍射

单缝衍射

不同于双缝干涉，单缝衍射考虑的是一个宽度为 a 的狭缝内无数次波的相互叠加。

  • 狭缝宽度： a
  • 上下边缘光束的光程差： \Delta L = a \sin\theta
  • 上下边缘光束的相位差： \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta
  • 常用无量纲参数： \alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}
    Optics - 光学-6
    Optics - 光学-5

易错： 单缝衍射的 a \sin\theta = m\lambda 算出的是暗纹！（双缝干涉中 d \sin\theta = m\lambda 算出的是亮纹）。

  • 公式： \sin\theta = \frac{m\lambda}{a}
  • 取值要求： m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots (绝对没有 m=0)。
  • 中央明纹特点： 位于由 m=-1 和 m=+1 两个暗纹夹住的区域内，比其他任何旁瓣都要宽一倍，且亮度极高。
  • 小角度近似（\theta=\sin\theta）

基于相量链条卷曲成圆弧的几何关系推导出整体的光强分布函数 \text{sinc}^2(\alpha)：
I = I_0 \left[ \frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2} \right]^2 = I_0 \left[ \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right]^2
（注：当 \theta \to 0 时，\alpha \to 0。根据数学极限 \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1，算出中央最大光强即为 I_0）

狭缝越窄，衍射现象越明显（光散得越开）。

  1. 极宽极限 (a \gg \lambda)： 衍射角极小，不发生明显的衍射散布，光斑与狭缝形状一致，退化为几何光学直线传播。
  2. 极窄极限 (a \approx \lambda)： 第一暗纹在 90^{\circ}，中央明纹无限宽敞，充满背后的整个空间。

双缝干涉+衍射

理想双缝假设缝很窄；真实的双缝具有宽度 a，会引发单缝衍射的调制。

  • 核心图像概念： 真实的双缝图案本质上是 “干涉纹被包在衍射轮廓之中”。
  • 总光强组合公式：
    I(\theta) = I_m \cdot \underbrace{(\cos^2 \beta)}_{\text{理想双缝干涉}} \cdot \underbrace{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2}_{\text{单缝衍射 (包络线)}}
    • \beta = \frac{\pi d \sin\theta}{\lambda} （其中 d 为双缝间距）
    • \alpha = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} （其中 a 为单缝宽度）
  • 缺级现象分析
    当本该出现干涉极大值的地方，碰巧是单缝衍射的极小值（暗纹=光强归零） 时，该级干涉明纹将消失不显示。
    • 干涉明纹条件：d \sin\theta = m_i \lambda
    • 衍射暗纹条件：a \sin\theta = m_d \lambda
    • 缺级条件公式： 联立二者消去 \sin\theta/\lambda，得到关系式：
      m_i = \frac{d}{a} m_d \quad (m_d = 1, 2, 3 \dots)
      例如：若缝距是缝宽的 4 倍（d=4a），则代入 m_d = 1, 2, 3 后可得，m_i = 4, 8, 12 \dots 级的明纹会消失。
      Optics - 光学-7

圆孔衍射

圆孔衍射（Circular Aperture Diffraction）与分辨本领（Resolvability）。

与矩形单缝不同，光波通过圆形孔径时，会在屏幕上形成中心高亮、周围环绕极弱同心亮环的衍射图样。

  • 爱里斑 (Airy Disk): 衍射图样中央最亮、最大的圆斑。
  • 第一级暗环的位置公式:
    \sin\theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}
    (其中，d 为圆孔的直径，\lambda 为光波长，\theta 为圆孔中心到第一暗环的夹角)
    注意： 因为 \theta 通常极小（如望远镜看星星），根据小角度近似，公式常写作：
    \theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{d} \quad \text{(单位：弧度 rad)}

由于圆孔衍射（爱里斑）的存在，任何光学仪器（人眼、显微镜、望远镜）都无法将空间靠得极近的两个物点完美清晰地分开。

  • 瑞利判据 (临界条件):
    当且仅当光源 S1 的中央主极大，与光源 S2 的第一级衍射极小（暗环） 完全重合时，这两个物体被认为是恰能被分辨的 (just resolved)。

  • 最小分辨角 (Minimum Resolvable Angle) 公式:
    \theta_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{d}
    这是仪器能够分辨的两个物点对镜心所张的最小角距离。

假设两个实际点光源之间对圆孔的夹角（角距离）为 \theta_{actual}：

  1. \theta_{actual} > \theta_{min} \longrightarrow 能分辨 (Resolved)
  2. \theta_{actual} = \theta_{min} \longrightarrow 恰能分辨 (Just resolved) (符合瑞利判据)
  3. \theta_{actual} < \theta_{min} \longrightarrow 不能分辨 (Unresolved) (爱里斑严重重叠)

要想看清极其微小的细节，必须让最小分辨角 \theta_{min} 尽可能地小：

  1. 增大直径 d： 为什么天文台要把望远镜口径做得越来越大？（不仅为了聚光，更是为了减小衍射角，提高分辨率）。第一张 PPT 底部的图证明了：Large aperture（大孔径）的衍射图变得非常小而清晰。
  2. 减小波长 \lambda： 光学显微镜放大倍数有极限（受可见光波长 400-700\text{nm} 限制）。要想看清病毒或原子，必须使用电子显微镜（电子束具有极短的物质波波长，极其微小，分辨率极高）。