Number Systems - 数字系统

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导论

信号（Signal）：可表示和用于传递信息。

  • 模拟信号（Analog signals）：有各种幅值和频率，连续的
  • 数字信号（Digital signals）：二进制的，离散的
    比特（Bit）：二进制位，电路中由电压的高低决定。
  • 1：HIGH (TRUE)
  • 0: LOW (FALSE)
    编码（Codes）：比特的组合。
    数字系统（Digital Systems）：处理数字信号或数据的系统。
    Number Systems
    Physical Layer -> transistor -> logic gate -> mircroarchitecture -> system

数字系统

十进制（Decimal）/ 二进制（Binary） / 八进制（Octal） / 十六进制（Hexadecimal）
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进制转换

向十进制转换

若基数（Radix / Base） 为 r，则 n+m 位数字
D=d_{n-1}d_{n-2}\dots d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}
的十进制值为
D=\sum_{i=-m}^{n-1} d_{i}r^i

从十进制转换

整数部分：不断去除以 r ，考察每次的余数。
小数部分：不断去乘以 r，考察每次的整数部分。
MSD (Most-significant Digit)：权重最高的位。
LSD（Least-significant Digit）：权重最低的位。
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其他进制之间转换

二进制转换为八进制或十六进制：直接分组看，八进制就是三位一组，十六进制就是四位一组。
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八个位（bit）就是一个字节（byte）。

十六进制表示（Hexadecimal representation）：两个十六进制位表示一个字节。
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KB 与 B 的转换，是以 1024 为基数：
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BCD 码

用四个比特来表示一个十进制数位，例如用 0011 1001 0110 表示 396。
用 BCD 码表示的数，加法应该使用十进制的办法来加。
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做减法可以转换为做 10’s complement 再加。
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格雷码

最小改变的编码方式：变化到相邻的数，格雷码只变化一位。
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格雷码转二进制：

  • 把格雷码的最高位作为二进制的最高位。
  • 二进制的次高位：由二进制的最高位和格雷码的次高位异或得到。
  • 以此类推。
  • B_{n}=G_{n}, B_ {{i-1}} =B_{i}\oplus G_{i-1}
    二进制转格雷码：
  • 把二进制的最高位作为格雷码的最高位
  • 格雷码的次高位：由二进制的最高位和二进制的次高位异或得到。
  • 以此类推。
  • G_{n}=B_{n},G_{i-1}=B_{i}\oplus B_{i-1}

ASCII 码

American Standard Code for Information Interchange ：编码字符。

校验码

Error-Detecting Code：

  • 奇偶校验码：提前规定好奇校验/偶校验，放在信息的某一位，代表我 1 的数量是奇数还是偶数，这样可以检验出 1 比特的错误。

原码，反码与补码

2 进制

为了表示 0110_{2} （6_{10}）的相反数：
原码（Signed Magnitude）：符号位+符值： 1|110，第一位表示符号为负，剩下不变。
反码（1’s complement / Diminished radix complement）：1001 按位取反。
补码（2’s complement / Radix Complement）： 1010，按位取反再加一。
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一般地，n 位补码可以表示的范围为 -2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1。
使用补码可以统一表示所有带符号数的加减法，本质上 n 位补码相当于统一在模 2^n 的整数环上做加减法，模运算保持加减法正确。例如，在上表中 -2_{10}\equiv 14_{10}\equiv 1110_{2} \pmod{16}。
而十进制中的求对 2^n 的余数，又相当于按位取反再加一（假设 a' 为 a 的反码，-a 为补码）：
a+(-a)-1\equiv 2^{n}-1\equiv a+a'\implies -a=a'+1

r 进制

同样可以定义：
反码（(r-1) ‘s complement）： (r^n-1)-x
补码（r ‘s complement）： r^{n}-x
计算上，反码相当于每一位都用 r-1 去减掉（按位取反），补码就等于反码加一。
例如，在 r=10 下利用 10 ‘s complement 算减法：
3250-72532
那么 -72532 的补码表示为 27468，再加上 03250 得到 30718。这是答案的补码表示形式。那么正常的表示方式为再取一次补码，得到 -69282。