Manifold - 流形

拓扑基础

前置： Set and Function - 集合与函数

开子集（Open Subset）：我们把集合 X 的幂集 \mathscr{P} 划分为两部分，一部分是 X 的开子集，剩下的部分为 X 的非开子集。
这里开子集的那一部分，就是 X 的一个拓扑（Topology），记作 \mathscr{T}。这个划分也要满足三个基本性质：

• 空集与全集。
  \varnothing, X\in \mathscr{T}
• 有限个开子集之交也是开子集。
  O_{i}\in \mathscr{T},i=1,2, \dots,n\to \bigcap _{i}O_{i}\in \mathscr{T}
• 任意个开子集之并也是开子集。
  O_{\alpha}\in \mathscr{T},\forall \alpha\to \bigcup _{\alpha}O_{\alpha}\in \mathscr{T}
  一个集合配上它的一个拓扑，记为 (X,\mathscr{T}) ，就是一个拓扑空间（Topological Space）。
  一些特殊的拓扑空间：
• 离散拓扑。(X,\mathscr{T}=\mathscr{P})，开子集最多。
• 凝聚拓扑。(X,\mathscr{T}=\{ \varnothing ,X\})，开子集最少。
• 对 X=\mathbb{R}^{n}：先定义开球（Open Ball）：
  B(x_{0},r)=\{ x\in \mathbb{R}^{n}| \lvert x-x_{0} \rvert<r \}
• 其中 \lvert x-x_{0} \rvert 表示 x 与 x_{0} 之间的欧氏距离。
• 那么可以定义 通常拓扑 为所有 可表示为开球之并 的子集，记作 \mathscr{T}_{u}。
• 对 \mathbb{R}^{2} 就是开圆盘（Open Disk），对 \mathbb{R}^{1} 就是开区间（Open Interval）。

诱导拓扑（Induced Topology）：当我们有 X 的子集 A，可以从 X 的拓扑 \mathscr{T} 得到子集 A 的一个拓扑
\mathscr{S}:=\{ V \subseteq A \mid \exists O \in \mathscr{T},\, V=O\cap A \}

定义拓扑空间之间的映射 f:(X,\mathscr{T})\to (Y,\mathscr{S}) 的 连续性（记作 C^{0}）：
O\in \mathscr{S}\to f^{-1}[O]\in \mathscr{T}
这里 f^{-1}[O] 表示 O 的所有元素对应的原像组成的集合。

• 考虑 f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} 一元函数，上述定义和通常的 \varepsilon-\delta 语言是等价的：陪域的一个开区间的“逆像”是定义域中开区间的并。

定义 同胚（Homeomorphism）：我们说两个拓扑空间是相互同胚的，若它们之间存在双射，且这个映射及其逆映射都是连续的。这个映射就叫做同胚映射，简称同胚。

• 几何直观上看，对一个几何对象不剪，不粘地变换，就和原来是相互同胚的。