Coordinate Systems and Vectors - 坐标系与向量

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坐标系

Index notation（指标记号）: 在笛卡尔坐标系中，把 (x,y,z) 换成 x^{1},x^{2},x^{3}；以此类推。

常用的坐标系：

  • 笛卡尔坐标。
  • 极坐标。
  • 柱坐标。
  • 球坐标。
    另外还有：
  • 椭圆柱坐标。
  • 抛物柱坐标。
  • 抛物坐标。
    其中，笛卡尔坐标可以唯一地表示空间中的每一点；而极坐标，柱坐标等却在原点处有“缺陷”。以极坐标为例，x^{1}=\rho \cos \varphi, x^{2}=\rho \sin \varphi，那么 \rho=0，\varphi 可以取任何值，都会指向原点。要避免的话，只能去平移坐标系。

Line element / metric（线元 / 度量）： dl，有时也指 dl^{2}，按一般的求和记号可以写成
dl^{2}=\sum _{i=1}^{N} (dx^{i})^{2}
这可以等效为用 Einstein summation convention（爱因斯坦求和记号）：
dl^{2}=dx^{i}dx^{i}
省略了求和记号。当我们在每一项中看到恰好两个相同的 index，就知道需要求和。

向量

按照 index notation，三维向量可以写成
\mathbf{V}=V^{1}\hat{\mathbf{e}}_{1}+V^{2} \hat{\mathbf{e}}_{2}+V^{3}\hat{\mathbf{e}}_{3}
按照 Einstein summation convention，一般的向量可以写成
\mathbf{V}=V^{i}\hat{\mathbf{e}}_{i}
向量加法可以写成
\mathbf{V}+\mathbf{U}=V^{i}\hat{\mathbf{e}}_{i}+U^{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}=(V^{i}+U^{i})\hat{\mathbf{e}}_{i}
点乘可以写成
\mathbf{V}\cdot \mathbf{U}=(V^{i} \hat{\mathbf{e}}_{i})\cdot (U^{j} \hat{\mathbf{e}}_{j})
这里定义 Kronecker delta：
\delta _{ij}=\hat{\mathbf{e}}_{i} \cdot \hat{\mathbf{e}}_{j}= \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases}
那么点乘可以进一步写成
\mathbf{V}\cdot \mathbf{U}= V^{i}U^{j} \delta _{ij}

上标与下标

对这些 dummy indices（恰好出现两次的 index），有 lowering / raising：
U^{j}\delta _{ij}=U_{i},\quad V^{i}\delta _{ij}=V_{j}
U_{j}\delta ^{ij}=U^{i},\quad V_{i}\delta ^{ij}=V^{j}
定义 hybrid Kronecker delta：
\delta _{j}^{i}=\delta ^{ik} \delta _{kj}
那么可以得到
U^{j} \delta _{j}^{i}=U^{i}
上式中，i 这种 每项恰好出现一次，且每项里名字相同 的指标叫做 free index。

有时我们会称分量带上标的为 contravariant vector / vector；称带下标的为 covariant vector / dual vector。对笛卡尔坐标来说，这两种没区别，也就是说 U_{i}=U^{i}；后面就会介绍到一般情况下的区别。总结一下，向量点积有这些等价写法：
\mathbf{V}\cdot \mathbf{U}=V^{i}U^{j}\delta _{ij}=V_{i}U_{j}\delta ^{ij}=V^{i}U_{j} \delta ^{j}_{i}=V^{i}U_{i}=V_{i}U^{i}
一种用矩阵的直观理解方式：把上标看成列向量的成分，把下标看成行向量的成分，例如：
V_{i}U^{i}\leftrightarrow \begin{pmatrix} V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_{x} \\ U_{y} \\ U_{z} \end{pmatrix}
而 Kronecker delta 可以看成表示单位矩阵的分量：
[\delta]= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
这里有
\delta ^{ij}\delta _{ij}=\delta ^{i}_{i}=3
进一步，对任意矩阵，它的 trace 可以由它的分量用 Kronecker delta 缩并（contract）下标得到
\delta ^{ij}A_{ij}=\delta _{ij}A^{ij}=A^{i}_{i}=\operatorname{tr}(A)

Remark：free indices 的数量，决定了 结果是什么类型。例如：

  • 向量点积中数量为 0，那么结果就是标量。
  • 在 lowering 的式子中，数量为 1，那么结果是向量。
  • \delta _{ij} 这个 term，数量为 2，那么结果是矩阵。

Remark： 缩并应该一上一下配对，例如不能写 V^{i}U^{i}，而写 V^{i}U_{i} 就是对的。

微分

常用 nabla / del 算子 \nabla 来对坐标求导，在笛卡尔坐标系下，它用 index notation 可以写成：
\vec{\nabla}= \hat{\mathbf{e}}_{i} \partial ^{i}= \delta ^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{i} \partial _{j}
这里我们定义
\partial _{i}= \frac{\partial}{\partial x^{i}}
散度（Divergence）用 index notation 可以写成
\vec{\nabla} \cdot \mathbf{V}= \frac{\partial V^{i}}{\partial x^{i}}= \partial _{i}V^{i}
而 函数 f 的梯度（gradient）可以写成
\vec{\nabla} f = \delta ^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{i} (\partial _{j}f) = \hat{\mathbf{e}}_{i} (\partial ^{i}f)
Remark: 这里顺序很重要，因为 \partial _{i} 算子右边放的是我们想要求导的东西，所以不应该写 \partial _{i}\delta ^{ij} 这样的东西。
定义方向微分（directional derivative）为
df=d\boldsymbol{r} \cdot \vec{\nabla}f = dx^{i} (\partial _{i}f)
另外还可以定义 Laplacian 算子 \nabla ^{2}：
\nabla ^{2}= \vec{\nabla}\cdot \vec{\nabla}= \delta ^{ij}\partial _{i}\partial _{j}= \partial ^{i}\partial _{i}=\partial _{i} \partial ^{i}