两直线垂直,斜率相乘为什么等于-1?如果夹角是其他角度呢?

写于 2021.12.12

解析几何告诉我们,平面直角坐标系中的两条直线,如果相互垂直,那么它们的斜率相乘等于-1. p1
.png 如图,$l_1\perp l_2$,则必有$k_1k_2=-1$.

下面给出初中方法的证明.

Part 1 前置条件

首先需要证明, 若斜率存在,则 $l_a\parallel l_b \Rightarrow k_a=k_b$. 此结论未出现在初中课本上.

令 $l_a:y=k_ax+p ,\ \ l_b:y=k_bx+q$.

假设$k_a \ne k_b$.

联立两条直线,得 $k_ax+p=k_bx+q$.

解得 $x=\frac{q-p}{k_a-k_b}$.

由于$k_a\ne k_b$,所以 $x$ 的分母不为 $0$ ,也就是说,实数 $x$ 一定存在. 而且这里的 $x$ 同时满足两条直线方程.

由于两条直线平行,所以它们不存在交点,也就不存在能同时满足两条直线方程的实数$x$.

这就产生了矛盾.于是必有 $k_a=k_b$.

Part 2 几何证明

事实上,中考中需要使用$k_1k_2=-1$的地方,经常可以构造一线三垂直的相似来代替.

经过了Part 1的证明,我们可以光明正大地把两条垂直的直线平移到原点处了,因为平移过后斜率根本不会发生改变,我们可以把任意直线垂直的证明等价为原点处的两条直线.

p2.png

不妨直接构造一线三垂直的全等.

p3.png 在$l_1$上取一点$M(m,k_1m)$.

为了构造全等,在$x$轴上取一点$Q$,使$OQ=MP$,并过点$Q$作$x$轴垂线交$l_2$于点$N$. 则$x_N=-y_M=-k_1m$.

再代入$l_2$解析式,所以$N(-k_1m,-k_1k_2m)$. 所以$NQ=y_N=-k_1k_2m$.

容易看出,$△NQO\cong△OPM(ASA)$.

所以$NQ=OP$.

代入,得$-k_1k_2m=m$.

即证$k_1k_2=-1$.

Part 3 三角函数证明

直线的斜率正是倾斜角的正切值,那么为什么不用和差角公式证明呢?

以下的同乘、同除是基于倾斜角不会是0度或90度,即它们的正弦、余弦和正切都不会是0.

p4.png 由三角形外角公式,显然$\alpha-\beta=90°$.

那么$cos(\alpha-\beta)=cos \ 90°=0$.

展开,得 $cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta = 0$.

两边同除 $sin\alpha cos\beta$,得 $\frac{1}{tan\alpha}+tan\beta=0$.

两边同乘 $tan\alpha$,得 $1+tan\alpha tan\beta=0$.

又因为$tan\alpha =k_2, tan\beta = k_1$,

即证$k_1k_2=-1$.

Part 4 夹角公式

若两直线夹角为$\theta$,那么有$tan\theta = \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}$. 事实上,这就是正切的差角公式.

那么在夹角为$90°$时,$\tan 90°$无意义,则$1+k_1k_2=0$. 亦印证了$k_1k_2=-1$..

Part 5 向量验证(2022.7.8补充)

取直线 $l_1:y=k_1x$, $l_2:y=k_2x$ 的方向向量分别为$\boldsymbol{a} = (1,k_1)$, $\boldsymbol{b} = (1,k2)$.

由于$l_1\perp l_2$,有$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$,所以$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$,即$1\times1+k_1k_2=0$,亦即$k_1k_2=-1$.

本篇就到此结束.

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