Linear Transformation - 线性变换
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线性变换将一个向量空间映射到另一个向量空间 \mathbf{T}:V\to W，它满足这两个条件：
\text{1. }\mathbf{T}(a+b)=\mathbf{T}(a)+\mathbf{T}(b)
\text{2. }\mathbf{T}(ka)=k\mathbf{T}(a)
线性变换可以用矩阵表示，其定义如下：
设 V 和 W 是同一个数域 F 上的有限维向量空间，且 \dim(V) = n，\dim(W) = m。设 T: V \to W 是一个从 V 到 W 的线性变换。设 \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 是定义域 V 的一组基， \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m 是目标域 W 的一组基。那么 T(\alpha_j) 可以唯一地表示为这些基向量的线性组合：
T(\alpha_j) = a_{1j}\beta_1 + a_{2j}\beta_2 + \dots + a_{mj}\beta_m = \sum_{i=1}^m a_{ij}\beta_i
我们将上述 n 个等式（j=1, 2, \dots, n）中的系数 a_{ij} 排列成一个 m \times n 的矩阵 A。具体来说，把 T(\alpha_j) 在基 \beta 下的坐标列向量作为矩阵 A 的第 j 列：
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
这个矩阵 A 就称为线性变换 T 在基 \alpha 和基 \beta 下的矩阵表示。
上述关系通常可以用分块矩阵的形式简记为：
T(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m) A
矩阵表示的意义：如果 V 中的向量 v 在基 \alpha 下的坐标列向量为 x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T；其像 T(v) 在 W 的基 \beta 下的坐标列向量为 y = (y_1, y_2, \dots, y_m)^T。那么，抽象的线性变换 T(v) 等价于其坐标向的矩阵乘法 y = Ax。
旋转矩阵
T_{\theta}=\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
表示将 \mathbb{R}^{2} 的基向量 \mathbf{i}=(1,0),\mathbf{j}=(0,1) 绕原点逆时针旋转 \theta ：
\mathbf{i}'=\mathbf{T_{\theta}}(\mathbf{i})=T_{\theta}\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos\theta \\
\sin\theta
\end{bmatrix}
\mathbf{j}'= \mathbf{T_{\theta}}(\mathbf{j})=T_{\theta}\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-\sin\theta \\
\cos\theta
\end{bmatrix}
投影矩阵
P_{\theta}=\begin{bmatrix}
\cos ^{2}\theta & \cos\theta \sin\theta \\
\cos\theta \sin\theta & \sin ^{2}\theta
\end{bmatrix}
表示将 \mathbb{R}^{2} 的基向量 \mathbf{i}=(1,0),\mathbf{j}=(0,1) 投影到 \mathbf{v}=(\cos\theta, \sin\theta) 上。
反射矩阵
\mathbf{R}_{\theta}:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2} 表示向量由 \mathbf{v}=(\cos\theta, \sin\theta) 反射。由几何关系有
\mathbf{R}_{\theta}(\mathbf{v})+\mathbf{v}=2\mathbf{P}_{\theta}(\mathbf{v})
那么就有
R_{\theta}=2P_{\theta}-I=\begin{bmatrix}
\cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)
\end{bmatrix}
这里的变换矩阵和基的选取有关。
线性变换的变换基（Change of basis）：若 \mathbf{T}:V\to V 是一个线性变换，而 A 是 \mathbf{T} 在基 \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} 下的矩阵表示，B 是 \mathbf{T} 在基 \mathbf{w}_{1},\dots, \mathbf{w}_{n} 下的矩阵表示。
若 \begin{bmatrix}\mathbf{w}_{1} \dots \mathbf{w}_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_{1}\dots \mathbf{v}_{n}\end{bmatrix}S，则有 B=S^{-1}AS。
理解： Wx=V(Sx)。也就是说，W 基下的坐标 x 对应 V 基下的坐标 Sx！所以，在基 W 下，线性变换的矩阵表示为 y=Bx，这里 x,y 都是 W 基下的坐标。把 y=Bx 翻译成 V 基下的坐标：Sy=A(Sx)！对比一下，就可以得到 B=S^{-1}AS！