Linear Transformation - 线性变换

线性变换将一个向量空间映射到另一个向量空间 T:V\to W，它满足这两个条件：
\text{1. }T(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=T(\boldsymbol{a})+T(\boldsymbol{b})
\text{2. }T(k\boldsymbol{a})=kT(\boldsymbol{a})
线性变换可以用矩阵表示，其定义如下：
设 V 和 W 是同一个数域 F 上的有限维向量空间，且 \dim(V) = n，\dim(W) = m。设 T: V \to W 是一个从 V 到 W 的线性变换。设 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n 是定义域 V 的一组基， \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m 是目标域 W 的一组基。那么 T(\boldsymbol{\alpha}_j) 可以唯一地表示为这些基向量的线性组合：
T(\boldsymbol{\alpha}_j) = a_{1j}\boldsymbol{\beta}_1 + a_{2j}\boldsymbol{\beta}_2 + \dots + a_{mj}\boldsymbol{\beta}_m = \sum_{i=1}^m a_{ij}\boldsymbol{\beta}_i
我们将上述 n 个等式（j=1, 2, \dots, n）中的系数 a_{ij} 排列成一个 m \times n 的矩阵 A。具体来说，把 T(\boldsymbol{\alpha}_j) 在基 \beta 下的坐标列向量作为矩阵 A 的第 j 列：

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

这个矩阵 A 就称为线性变换 T 在基 \alpha 和基 \beta 下的矩阵表示。
上述关系通常可以用分块矩阵的形式简记为：
T(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m) A

矩阵表示的意义：如果 V 中的向量 \boldsymbol{v} 在基 \alpha 下的坐标列向量为 \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^{\top}；其像 T(\boldsymbol{v}) 在 W 的基 \beta 下的坐标列向量为 \boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \dots, y_m)^{\top}。那么，抽象的线性变换 T(\boldsymbol{v}) 等价于其坐标向的矩阵乘法 \boldsymbol{y} = A\boldsymbol{x}。

旋转矩阵
T_{\theta}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
表示将 \mathbb{R}^{2} 的基向量 \boldsymbol{i}=(1,0),\boldsymbol{j}=(0,1) 绕原点逆时针旋转 \theta ：
\boldsymbol{i}'=T_{\theta}(\boldsymbol{i})=T_{\theta}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}
\boldsymbol{j}'= T_{\theta}(\boldsymbol{j})=T_{\theta}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}
投影矩阵
P_{\theta}=\begin{bmatrix} \cos ^{2}\theta & \cos\theta \sin\theta \\ \cos\theta \sin\theta & \sin ^{2}\theta \end{bmatrix}
表示将 \mathbb{R}^{2} 的基向量 \boldsymbol{i}=(1,0),\boldsymbol{j}=(0,1) 投影到 \boldsymbol{v}=(\cos\theta, \sin\theta) 上。

反射矩阵
R_{\theta}:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2} 表示向量由 \boldsymbol{v}=(\cos\theta, \sin\theta) 反射。由几何关系有
R_{\theta}(\boldsymbol{v})+\boldsymbol{v}=2P_{\theta}(\boldsymbol{v})
那么就有
R_{\theta}=2P_{\theta}-I=\begin{bmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta) \end{bmatrix}

这里的变换矩阵和基的选取有关。
线性变换的变换基（Change of basis）：若 T:V\to V 是一个线性变换，而 A 是 T 在基 \boldsymbol{v}_{1}, \dots, \boldsymbol{v}_{n} 下的矩阵表示，B 是 T 在基 \boldsymbol{w}_{1},\dots, \boldsymbol{w}_{n} 下的矩阵表示。
若 \begin{bmatrix}\boldsymbol{w}_{1} \dots \boldsymbol{w}_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{v}_{1}\dots \boldsymbol{v}_{n}\end{bmatrix}S，则有 B=S^{-1}AS。

理解： W\boldsymbol{x}=V(S\boldsymbol{x})。也就是说，W 基下的坐标 \boldsymbol{x} 对应 V 基下的坐标 S\boldsymbol{x}！所以，在基 W 下，线性变换的矩阵表示为 \boldsymbol{y}=B\boldsymbol{x}，这里 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} 都是 W 基下的坐标。把 \boldsymbol{y}=B\boldsymbol{x} 翻译成 V 基下的坐标：S\boldsymbol{y}=A(S\boldsymbol{x})！对比一下，就可以得到 B=S^{-1}AS！