Vector Calculus - 向量微积分

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线积分与向量场

线积分（Line Integral）：沿着某条曲线 C 做函数 f 的积分：
$\int_{C}f\,\mathrm{d}s$
计算方法：

将曲线 C 参数化为 \mathbf{r}(t)。
则 \mathrm{d}s=\lvert \mathbf{v}(t)\rvert\,\mathrm{d}t，其中 \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)。
最后变成计算一元积分 \int f(\mathbf{r}(t))\lvert \mathbf{v}(t)\rvert\,\mathrm{d}t。
用线积分可以计算线质量，转动惯量等。

向量场（Vector Field）：一个函数，给空间一定区域内，每一点赋予一个矢量。
梯度场（Gradient Field）：\nabla f。
于是可以求向量线积分，也叫做功积分：
$\int_{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$
这里为向量的点乘。计算方法同样是参数化，转化为：
$\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t$
若 \mathbf{F}=\langle M,N\rangle 也可以进一步写成点乘 \mathbf{F}\cdot \langle \mathrm{d}x,\mathrm{d}y\rangle 的形式
$\int_{C}(M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y)$
若 C 为闭合曲线，则也把这个向量线积分叫做环流量（Circulation）。
另外若 \mathbf{F}=\langle M,N\rangle 且简单闭曲线 C 沿逆时针方向，\mathbf{n} 为外法向单位向量，则穿过 C 的向外通量（Flux）为：
$\oint_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}s=\oint_{C}(M\,\mathrm{d}y-N\,\mathrm{d}x)$
可以写成点乘 \mathbf{F}\cdot \langle \mathrm{d}y,-\mathrm{d}x\rangle。计算方式同样可以参数化。

保守场（Conservative Field）：在保守场 \mathbf{F} 中，沿着一条路径的积分只和起点和终点有关，也就是说，存在一个标量的势函数（Potential Function） f，使得
$\mathbf{F}=\nabla f$
（保守场是梯度场）
那么有线积分基本定理（Fundamental Theorem of Line Integrals）：任意路径 C:A\to B，有
$\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=f(B)-f(A)$

定义连通区域（Connected Domain）：完整的一块，可以从任意一点沿着光滑曲线走到另一点。
定义单连通区域（Simply Connected Domain）：连通且没有洞，也就是说可以缩点：在区域里随便画一个闭合的圈 (loop)，这个圈一定能像橡皮筋一样一直缩小到一个点，且在缩小的过程中绝对不会碰到区域的外部。

判定保守场的一个必要条件：对于向量场 \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle，若它是保守场，则必有
$\frac{ \partial {P} }{ \partial y } =\frac{ \partial Q }{ \partial x }$
进一步的，若区域是单连通的开区域，且场的分量有连续一阶偏导，则这个条件是充要的。
定义：一个式子 M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y+P\,\mathrm{d}z 为恰当（Exact）微分形式，若存在 f 使得：
$\mathrm{d}f=M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y+P\,\mathrm{d}z=\frac{ \partial f }{ \partial x }\,\mathrm{d}x+\frac{ \partial f }{ \partial y }\,\mathrm{d}y+\frac{ \partial f }{ \partial z }\,\mathrm{d}z$
这里 f 就是势函数。
对恰当微分形式进行线积分，由线积分基本定理，只需终点处的势函数值减去起点处的势函数值。
若单连通，同样有一个保守场充要条件：
$\frac{ \partial M }{ \partial y } =\frac{ \partial N }{ \partial x } ,\frac{ \partial M }{ \partial z } =\frac{ \partial P }{ \partial x } ,\frac{ \partial N }{ \partial z } =\frac{ \partial P }{ \partial y }$
保守场的一个充要条件：对任意回路积分为 0。

定义场 \mathbf{F}=\langle M,N\rangle 的环流密度（circulation density）：
$\frac{ \partial N }{ \partial x } -\frac{ \partial M }{ \partial y } = (\nabla \times\mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}$
也被称为旋度的 k 分量 the k-component of the curl，记作 (\operatorname{curl} \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}
定义散度（Divergence）：
$\frac{ \partial M }{ \partial x } +\frac{ \partial N }{ \partial y } =\nabla \cdot \mathbf{F}$

格林公式（Green’s Theorem）：设 C 是分段光滑、正向（逆时针）的简单闭曲线，围成区域 R；M,N 在包含 R 的开区域内有连续一阶偏导。
那么有环流量-旋度（Circulation-Curl）形式（右边是旋度的 k 分量）：
$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\,\mathrm{d}s=\oint_C M \, \mathrm{d}x + N \, \mathrm{d}y = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right)\,\mathrm{d}A$
这个旋度可以写成
$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}=\left\lvert \begin{matrix} \frac{ \partial }{ \partial x } & \frac{ \partial }{ \partial y } \\ M & N \end{matrix} \right\rvert$
或通量-散度（Flux-Divergence）形式：
$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}s=\oint_C M \, \mathrm{d}y - N \, \mathrm{d}x = \iint_R \left( \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right)\,\mathrm{d}A$
这个散度可以写成
$\nabla \cdot \mathbf{F}$

我们令 M=\frac{1}{2}x,N=\frac{1}{2}y，那么某个区域的面积有这样的计算公式
$A=\iint_{R}\,\mathrm{d}A=\frac{1}{2}\oint_{C}x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x$

面积分

沿着某个曲面做积分，由于曲面有两个自由度，其参数化需要两个变元，曲面的参数方程可以写成：
$\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}$
曲面平滑（Smooth）的定义：

偏导向量 \mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} 和 \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} 必须处处连续 (Continuous) 。
它们的叉乘（向量积）\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v 在区域内部绝不能为零向量 \mathbf{0} 。
在线积分中，弧长与参数的微小量的换算为 \mathrm{d}s=\lvert \mathbf{r}'(t) \rvert\,\mathrm{d}t。在面积分中，考虑在两个参量上走一小步，形成的微小平行四边形面积为两个切向量的叉乘，故而面积与参数的微小量的换算为：
$\mathrm{d}\sigma=\lvert \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v} \rvert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
其中 \mathbf{r}_{u},\mathbf{r}_{v} 为 \mathbf{r} 对 u,v 求偏导的结果。

注意：做这样的换算，都要把积分的区域也做投影！

这里若 z=f(x,y)，则有 \mathbf{r}=\langle u,v,f(u,v)\rangle，\mathbf{r}_{u}=\langle 1,0,f_{x}\rangle ,\mathbf{r}_{v}=\langle 0,1,f_{y}\rangle，故而 \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v}=\langle -f_{x},-f_{y},1\rangle（这里指向上面），有结论：
$\mathrm{d}\sigma=\sqrt{ f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1 }\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$
所以
$A=\iint_{R}\,\mathrm{d}\sigma=\iint_{R'} \sqrt{ f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1 }\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$
其中 R' 为 R 向 xOy 平面投影得到。
另外，对可投影为单值图形的曲面片 F(x,y,z)=c（\nabla F\cdot\mathbf{p}\neq0），有：
$A = \iint_R \frac{\lvert \nabla F\rvert }{\lvert \nabla F \cdot \mathbf{p}\rvert } \, \mathrm{d}A$
其中 \mathbf{p}=\mathbf{i},\mathbf{j}\text{ or }\mathbf{k}，区域 R 是一个垂直于 \mathbf{p} 的平面（原来区域对这个平面做投影得到）。
这相当于投影到某个平面去求，代数推导是，比如假设 z=h(x,y)，则 h_{x}= - \frac{F_{x}}{F_{z}},h_{y}=- \frac{F_{y}}{F_{z}}，再代入：
$\mathrm{d}\sigma=\sqrt{ \left( - \frac{F_{x}}{F_{z}} \right)^{2}+ \left( -\frac{F_{y}}{F_{z}} \right)^{2}+1 }\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y= \frac{\lvert \nabla F \rvert }{\lvert F_{z} \rvert }\,\mathrm{d}A$

总结来说，对于标量曲面积分：

形式 A：参数化曲面 \mathbf{r}(u,v) 下（最通用）
$\iint_S f(x,y,z) \, \mathrm{d}\sigma = \iint_R f(\mathbf{r}(u,v)) \, \lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v$
形式 B：显式曲面 z = g(x,y) 下（最常见）

$\iint_S f(x,y,z) \, \mathrm{d}\sigma = \iint_R f(x,y,g(x,y)) \, \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 + 1} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$
形式 C：隐式曲面 F(x,y,z) = c 下（投影法）

$\iint_S f(x,y,z) \, \mathrm{d}\sigma = \iint_R f(x,y,z) \, \frac{\lvert \nabla F\rvert }{\lvert \nabla F \cdot \mathbf{p}\rvert } \, \mathrm{d}A$

(其中 \mathbf{p} 是垂直于投影平面的单位法向量，通常是 \mathbf{k})

如果我们在曲面 S 上可以选定一个处处连续变化的单位法向量场 \mathbf{n}，使得当你沿着曲面上的任何闭合回路绕一圈回来时，法向量不会突然反转，那么这个曲面就叫做可定向曲面 (Orientable Surface)。
非定向曲面 (Non-orientable Surface) 的代表——莫比乌斯带。

另外：对曲面求通量，比如有一个场 \mathbf{F}，则 Surface Integral of F over S：
$\iint _{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma=\iint_{R}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v}}{\lvert \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v} \rvert }\lvert \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v} \rvert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\iint_{R}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v})\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
这里的 \mathbf{n} 的方向需要确定：

封闭曲面 (Closed Surfaces)
封闭曲面默认只有两种定向：
1. 向外定向 (Outward Orientation)：法向量 \mathbf{n} 处处指向几何体的外部（微积分和物理学默认的正方向）。
2. 向内定向 (Inward Orientation)：法向量 \mathbf{n} 处处指向几何体的内部。
开放曲面 (Open Surfaces) —— 如一个雷达锅盖、一个平坦圆盘。
开放曲面按题目选定法向方向；对图形曲面 z=f(x,y)，可区分：
1. 向上定向 (Upward Orientation)：法向量 \mathbf{n} 的 z 轴分量（即 \mathbf{k} 分量）必须是正数。
2. 向下定向 (Downward Orientation)：法向量 \mathbf{n} 的 z 轴分量必须是负数。

类似于之前的多重积分，还可以求曲面的质量（\iint \delta\,\mathrm{d}\sigma）和质心/转动惯量等。

斯托克斯定理

斯托克斯定理（Stokes Theorem）： 边界的环流量等于曲面上的旋度通量。

定义在一个场 \mathbf{F} 中某点的旋度（Curl）为
$\nabla \times \mathbf{F}$
其中 \nabla=\langle \frac{ \partial }{ \partial x },\frac{ \partial }{ \partial y },\frac{ \partial }{ \partial z }\rangle 为倒三角算符（Del Operator）。
那么斯托克斯定理指出：
$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma$
其中 S 是以闭合边界 C 为边界的分段光滑曲面，C 的方向与曲面法向量按右手定则相容。
也就是说，以 C 为边界的曲面的旋度场的通量，等于这个边界上的环流量。
那么对于一个复杂的曲面积分，可以改成算一个线积分，也可以换成一个简单的（有相同边界的）曲面的积分；对于一个复杂的环流量线积分，也可以换成一个简单曲面的旋度通量积分。

这里要注意，作为一个通量积分，仍然有：
$\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma= \frac{\mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v}}{\lvert \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v} \rvert }\lvert \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v} \rvert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=(\mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v})\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
那么对于 z=f(x,y)，仍然有 \mathbf{r}_{u}\times \mathbf{r}_{v}=(-f_{x},-f_{y},1)。

如果曲面有洞：公式里的边界 C 会变成一组曲线的集合：

$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}\sigma = \oint_{C_{\mathrm{outer}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \oint_{C_{\mathrm{inner}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

根据右手螺旋定则，当曲面的法向量 \mathbf{n} 向上时：

外边界（Outer boundary）：必须是逆时针（Counterclockwise）方向。
内边界（Hole boundary）：必须是顺时针（Clockwise）方向。
（保持曲面在左手边）

定理：光滑标量场的梯度场，其旋度必为零向量。
$\operatorname{curl}(\operatorname{grad} f) = \mathbf{0} \quad \text{或} \quad \nabla \times \nabla f = \mathbf{0}$
在连通且单连通（Connected & Simply Connected）的开放区域 D 中，TFAE：

\mathbf{F} 是保守场（\mathbf{F} = \nabla f 存在势函数）。
沿着区域内任何闭合回路的线积分永远为 0（\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0）。
向量场线积分严格路径无关（Path Independence）。
区域内处处无旋：\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}。

散度定理

曲面 S 必须是一个分段平滑 (Piecewise smooth) 的闭合曲面 (Closed Surface)（比如完整的球面、立方体表面、圆柱体含上下底面）。它包围着一个三维立体区域 D。

法向量 \mathbf{n} 必须是向外定向的单位法向量 (Outward unit normal vector)。

向量场 \mathbf{F} = M\mathbf{i} + N\mathbf{j} + P\mathbf{k} 的三个分量在区域 D 及其边界 S 上必须有连续的一阶偏导数。

【三维散度定义】：在三维空间某一点上，流体向外膨胀的微观速率为：
$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial z}$
散度定理（Divergence Theorem）：

$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}\sigma = \iiint_D \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$
左边是一个面 S 的通量，右边是内部体积 D 中的散度。
推论：如果一个向量场 \mathbf{G} 是另一个场的旋度（即 \mathbf{G} = \operatorname{curl} \mathbf{F}），那么 \mathbf{G} 穿过任何“闭合曲面 S”的向外总通量必定为零。
$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}\sigma = 0$
如果向量场 \mathbf{F} 具有连续的二阶偏导数，那么它的旋度的散度必定为零，即 \operatorname{div}(\operatorname{curl} \mathbf{F}) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0。

总结：
“保守场 \nabla f 必定无旋（\nabla \times \nabla f = 0）”
“旋度场 \nabla \times \mathbf{F} 必定无源（\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0）”

（考点：对于一个场 \mathbf{G}，是否存在某个向量场 \mathbf{F}，使得 \mathbf{G} = \nabla \times\mathbf{F}？只需要去算算 \nabla \cdot \mathbf{G}，只要它不为零，就不可能存在 \mathbf{F}）。

总结

定理名称	维度与几何体	内部积分 (区域上的“导数”累积)	=	边界积分 (边界上的“原函数”表现)
微积分基本定理 (Fundamental Theorem)	1 维线段区间 `[a,b]`	`\displaystyle\int_a^b \color{red}{f'(x)} \, \mathrm{d}x` (内部导数的线积分)	`=`	`\displaystyle \color{blue}{f(b) - f(a)}` (两端点的值相减)
格林定理 (环流-旋度) (Green’s - Circulation)	2 维平坦闭区域 `R`	`\displaystyle\iint_R \color{red}{(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}} \, \mathrm{d}A` (内部微观旋度的面积分)	`=`	`\displaystyle\oint_C \color{blue}{\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}}` (边界曲线上的总环流做功)
格林定理 (通量-散度) (Green’s - Flux)	2 维平坦闭区域 `R`	`\displaystyle\iint_R \color{red}{(\nabla \cdot \mathbf{F})} \, \mathrm{d}A` (内部微观散度的面积分)	`=`	`\displaystyle\oint_C \color{blue}{\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \, \mathrm{d}s` (穿过边界曲线的总外通量)
斯托克斯定理 (Stokes’ Theorem)	3 维 (曲面) 空间弯曲曲面 `S`	`\displaystyle\iint_S \color{red}{(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}} \, \mathrm{d}\sigma` (曲面微观旋度的面积分)	`=`	`\displaystyle\oint_C \color{blue}{\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}}` (边界铁丝圈上的总环流做功)
散度定理 (高斯公式) (Divergence Theorem)	3 维 (实体) 实心立体空间 `D`	`\displaystyle\iiint_D \color{red}{(\nabla \cdot \mathbf{F})} \, \mathrm{d}V` (立体微观散度的体积分)	`=`	`\displaystyle\iint_S \color{blue}{\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \, \mathrm{d}\sigma` (穿过边界闭合曲面的总外通量)